解多目标优化问题的改进差分进化算法分析

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1、-------2解多目标优化问题的改进差分进化算法研究从20世纪60年代初开始，越来越多的研究人员开始关注于多目标优化问题。这期间，Charnes，Karlin，Zadeh，Creofrion，Steuer等人做出了卓有成效的工作，先后出现了权重系数变化法、距离函数法、约束法等基于权重的多目标优化方法。近二十多年来，随着进化计算(EvolutionaryComputation)技术和群智能(Swarm-Intelligence)方法的兴起以及在科研和实践中的广泛应用，多目标优化技术发展日渐成熟，应用这些技术和方法求解多目标优

2、化问题已经成为当前一个热门的研究领域，其中将进化算法应用于多目标优化问题是研究热点之一，这种算法通常称作多目标优化进化算法或多目标优化遗传算法。本文将在第二章具体介绍多目标进化算法的发展历程。1.3多目标优化方法1.3.1传统的多目标优化方法传统的多目标优化方法是将各个子目标合并，并转化为一个或一系列的单目标优化问题，即将多目标优化问题转化为单目标优化问题，再用单目标优化的一些方法来求解该问题。常见的方法有权重系数变化法、距离函数法和约束法等。（1）权重系数变化法[3,4]权重系数变化法也叫加权和法，是一种简单有效的求解多目

3、标优化问题的经典方法。其基本思想是将多个目标线性组合转化成一个目标，成为单目标优化问题，再对其求出最优解。模型如下：miny=f(x)=wf(x)+wf(x)+⋯+wf(x)1122kks.t.x∈X(1-1)fw≥0,i=1,2,⋯kik∑。通过选取不同的权值组合，得到不同的最优解。该 其中，w为权重，且w=1iii=1算法的主要优点是算法思想简单，时间复杂度低，对于最优前端为凸的情况，可获得Pareto最优解；其缺点为：如果对于被求解问题没有足够的先验知识，就很难给出各目标函数的确定的、合适的权重系数，而且对于Paret

4、o最优前端非凸的情况，很难找到所有的Pareto最优解。（2）距离函数法[5]-----------距离函数法是由决策者确定需求标准向量，即每个目标的期望值，以实现多目标函数的标量化。模型如下：-----------第一章绪论31kr∑minf(x)−Tiii=1s.t.x∈X,1≤r≤∞f(1-2)一般选择欧几里德度量，即r=2，Ti为第i个目标的期望值。该算法的主要缺点是求得的解依赖于标准矢量T的选择，如果决策者对被求解问题没有详尽的个体最优先验知识，则很难保证得到Pareto最优解。（3）约束法[6]约束法

5、是将多个目标中最重要的一个目标作为单目标优化问题的目标函数，其它目标转化成约束条件。模型如下：minf(x)hs.t.f(x)≤ε,(1≤i≤K,i≠h)iix∈Xf(1-3)其中，ε为上界可在优化过程中取不同的值，以便找到多个Pareto最优解。该算i法的主要优点是简单，易于实施；缺点是ε的取值在很大程度上决定了算法求出i的解的优劣，而且，无论ε如何取值，一般都会或多或少地缩小目标空间区域的i范围，即可行区域的范围。（4）最小-最大法[7]对于如下模型：minf(x)=(f(x),f(x),⋯,f(x))12ks.t.x∈

6、Xf(1-4)令u(f(x))=max{f1(x),f2(x),⋯,fk(x)}，则将多目标最小化问题归结为求解数值最小化问题：minu(f(x))=minmax{f(x),f(x),⋯,f(x)}(1-5)12kx∈Xx∈Xff选取合适的权重系数，则u(f(x))=max{wf(x),wf(x),⋯,wf(x)}1122kk-----------代入式(1-5)中得minu(f(x))=minmax{wf(x),wf(x),⋯,wf(x)}(1-6)1122kkx∈Xx∈Xff其中，w>0为权重系数。引入变量ε=max{w

7、f(x),wf(x),⋯,wf(x)}，则多目i1122kk标问题就转化为如下的单目标问题：minεs.t.wf(x)(i1,2,,k)≤ε=⋯(1-7)iix∈Xf-----------4解多目标优化问题的改进差分进化算法研究该方法的主要优点是对于那些由最差的目标来决定个体性能的情形，用最小-最大法比较容易求得最优解；然而如果个体性能不是由最差的目标来决定，则不能保证能够得到最优解。以上几种方法的共同特点是将多目标优化问题转化为单目标优化问题，再采用一些解决单目标优化问题的经典算法来求解。这些方法简单高效，且能够得到Par

8、eto最优解。但这些方法也存在一定的局限性，主要表现在以下几个方面：(1)以上几种方法都需要一些背景知识，而对于某一个具体问题来说，其领域知识可能不容易获得，这样就不能保证得到最优解。例如，对于约束法而言，问题最优解的优劣依赖于ε的取值。i(2)以上几种方法,一次运行通常只能得到一个Par