《傅里叶变换 》ppt课件

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1、第四章傅里叶变换§4.1正交函数§4.2周期信号的频谱分析§4.3典型周期信号的频谱§4.4非周期信号的频谱分析§4.5典型非周期信号的频谱引言1引言2频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。3发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1

2、768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。4主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概

3、念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。5傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中6傅里叶(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎

4、综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。7在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些

5、敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首

6、次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。8书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发

7、展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。9傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点10域