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1、血样分组检验的数学模型[摘要]：本文为了解决减少血样检验次数这个实际问题,通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数、阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k),求解得;通过计算,得当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:.关键词：先验概率；平均总检验次数；血样的阴阳性；组的基数1问题的提出在一个很大的人群中通过血样检验普查
2、某种疾病,假定血样为阳性的先验概率为p(通常p很小).为减少检验次数,将人群分组,一组人的血样混合在一起化验.当某组的混合血样呈阴性时,即可不经检验就判定该组每个人的血样都为阴性;而当某组的混合血样呈阳性时,则可判定该组至少有一人血样为阳性,于是需要对这组的每个人再作检验.(1)、当p固定时(如0.01%,…,0.1%,…,1%)如何分组,即多少人一组,可使平均总检验次数最少,与不分组的情况比较.(2)、当p多大时不应分组检验.(3)、当p固定时如何进行二次分组(即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验,重复一次分组时的程序).(4)、讨论其它分组方式
3、,如二分法(人群一分为二,阳性组再一分为二,继续下去)、三分法等.2模型假设与符号约定2.1血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常2.2血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响.2.3阳性血样与阳性血样混合也为阳性2.4阳性血样与阴性血样混合也为阳性2.5阴性血样与阴性血样混合为阴性n人群总数p先验概率血样阴性的概率q=1-p血样检验为阳性（患有某种疾病）的人数为:z=np发生概率:检查次数:平均总检验次数:3问题的分析117根据题意,由已知的先验概率
4、是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.1模型建立与求解设总人数为n,已知每人血样阳性的先验概率为p,记血样阴性的概率q=1-p4.1模型一设分x组,每组k人（n很大,x能整除n,k=n/x）,混合血样检验x次.阳性组的概率为,分组时是随机的,而且每个组的血样为阳性的机率是均等的,阳性组数的平均值为,这些组的成员需逐一检验,平均次数为,所以平均检验次数,一个人的平均检验次数为N/n,记作:(1)问题是给定p求k使E(k
5、)最小.p很小时利用可得(2)显然时E(k)最小.因为K需为整数,所以应取和,比较E（K）,得到K的最优值,见表1.P0.01%0.1%1%2%5%K100321085E(k)0.0200.0630.1960.2740.426表1一次分组检验结果图一当p=0.01%时,可用Maple模拟出的图像如图一,曲线是关于k的图像.117图二同上法,当p=0.1%时,可用Maple模拟出的图像如图二,曲线是关于k的图像.其它情况我们一样可用其所长Maple模拟出类似的图像.随着p的增加k减小,E（k）变大.只要E（k）<1,就应分组.注:若不取近似,利用导数
6、可得时E（k）最小.4.2模型二当E（k）>1时,不应分组,即:,用数学软件求解得检查k=2,3,可知当p>0.307不应分组.4.3模型三将第1次检验的每个阳性组再分y小组,每小组m人（y整除k,m=k/y）.因为第1次阳性组的平均值为,所以第2次需分小组平均检验次,而阳性小组的概率为（为计算简单起见,将第1次所有阳性组合在一起分小组）,阳性小组总数的平均值为,这些小组需每人检验,平均检验次数为,所以平均总检验次数,一个人的平均检验次数为N/n,记作(注意:n=kx=myx)(3)问题是给定p求k,m使E（k,m）最小.P很小时（3）式可简化为(
7、4)对（4）分别对k,m求导并令其等于零,得方程组:117舍去负数解可得:(5)且要求k,m,k/m均为整数.经在（5）的结果附近计算,比较E(k,m),得到k,m的最优值,见表2.P0.01%0.1%1%2%5%K70012522148M100251174E(k,m)0.00280.01610.08970.1310.305表2二次分组检验结果与表1比较可知,二次分组的效果E(k,m)比一次分组的效果E(k)更好.4.4模型四（平均概率模型）患病人数:z=np组的基数:每组需要检验的人数平均检验次数:阳性血样的分组模型:可分为x组,每组k人分组要满
8、足的条件:其中y为患病人数.4.1分组人数=患病人数(即：血样呈阳性的人数)时,通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优.
