灰色系统理论

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1、灰色系统理论主要介绍灰色系统理论的基本概念与基本原理，重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型——GM(1,1)模型。目标不在于讨论灰色系统理论的理论基础，而是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。如有同学对该理论的理论基础该兴趣，我们可以课下讨论。一、灰色系统的基本概念与基本原理灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法。概率统计研究的是“随机不确定”现象,着重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点是大样本，并要求对象

2、服从某种典型分布。模糊数学着重研究“认知不确定”问题,其研究对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如，“年轻人”，“有钱”。灰色系统理论着重研究“小样本,贫信息”认知不确定问题，其研究对象具有“外延明确、内涵不明确”的特点。例如，“8万到10万之间”就是一个灰概念，其外延明确，但内涵不清楚。项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列生成频率分布截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样

3、本凭借经验1.灰色系统的基本概念灰色系统中“灰色”的基本含义是指信息不完全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运行行为信息不完全。2.灰色系统的基本原理目前灰色系统理论的理论体系很不完善，但是，邓聚龙发现并提炼了灰色系统理论的基本原理：公理1差异信息原理——差异是信息，凡信息必有差异；公理2解的非唯一原理——信息不完全、不确定的解是不唯一的；公理3最少信息原理——充分利用已有的最小信息；公理4认知根据原理——信息是认知的根据；公理5新信息优先原理——新信息对认知的作用优于老信息；公理6灰性不灭原理——信息不完全(灰)是绝

4、对的。3.灰数及其运算1.灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数，通常记为：。灰数的种类：a、仅有下界的灰数。有下界无上界的灰数记为：∈[a,∞]b、仅有上界的灰数。有上界无下界的灰数记为：∈[-∞,b]c、区间灰数既有上界又有下界的灰数：∈[a,b]d、连续灰数与离散灰数在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。e、黑数与白数当∈(-∞,∞)，即当的上界、下界皆为无穷，称为黑数，当∈[a,b]且a=b,时，称为白数。f、本征灰数与非本征灰数本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白

5、数作为其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰数。2、区间灰数的运算。设灰数1∈[a,b],2∈[c,d](a0,则1-1∈[1/b,1/a]⑤1·2∈[min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}]⑥若cd>0,则1/2=1·2-1∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max

6、{a/c,a/d,b/c,b/a}]⑦若k为正实数则：k1∈[ka,kb]定义：形如的白化称为等权白化。定义：在等权白化中而得到的白化值称为等权均值白化。定义：设区间灰数1∈[a,b],2∈[c,d](a

7、数。再如：/f(x)10x1x2x3x4L(x)R(x)x二、序列算子和灰色序列的生成灰色系统中原始数据中的信息是不完全的。灰色系统往往通过对原始数据的挖掘和整理来降低信息的不确定性，这一数据预处理过程称为灰色序列的生成，生成灰色序列的方法称为序列算子。生成灰色序列的常用算子有：缓冲算子、均值算子和累加算子等。1.缓冲算子有时，问题中的原始数据受到某种冲击干扰而失真，数据已不能正确反映系统的真实变化规律。此时，要设法排除数据所受到的干扰，还数据以本来面目，从而提高预测的精度。灰色系统中通常用缓冲算子来减缓或加快原始数据的增长(衰减)速

8、度，分别称之为弱化算子或强化算子。定义1设为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为:其中,为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列.本节的讨论围绕一个总目标:由展开定义2设系统行为数据序列为