椭圆知识点总结附例题

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1、.圆锥曲线与方程椭圆知识点一.椭圆及其标准方程1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a,2a>

7、F1F2

8、=2c};这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。(时为线段,无轨迹)。2.标准方程:①焦点在x轴上:(a>b>0);焦点F(±c,0)②焦点在y轴上:(a>b>0);焦点F(0,±c)注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:或者mx2+ny2

9、=1二.椭圆的简单几何性质:1.范围(1)椭圆(a>b>0)横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b(2)椭圆(a>b>0)横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)(2)线段A1A2,B1B2......分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率(1)我们把椭

10、圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,记作e(),是圆;e越接近于0(e越小),椭圆就越接近于圆;e越接近于1(e越大),椭圆越扁;注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。()①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:小结一:基本元素(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量),特征三角形(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)(3)基

11、本线:对称轴(共两条线)5.椭圆的的内外部(1)点在椭圆的内部.(2)点在椭圆的外部.6.几何性质(1)最大角(2)最大距离,最小距离......例题讲解:一.椭圆定义:1.方程化简的结果是2.若的两个顶点,的周长为,则顶点的轨迹方程是3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为二.利用标准方程确定参数1.若方程+=1(1)表示圆,则实数k的取值是.(2)表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是.(3)表示焦点在y型上的椭圆,则实数k的取值范围是.(4)表示椭圆,则实数k的取值范围

12、是.2.椭圆的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是,离心率等于,3.椭圆的焦距为,则=。4.椭圆的一个焦点是,那么。三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点,,则该椭圆的标准方程为。2.焦点在坐标轴上,且,的椭圆的标准方程为3.焦点在轴上,,椭圆的标准方程为4.已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0),求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;变式:求与椭圆共焦点,且过点的椭圆方程。......四.焦点三角形1.椭圆的焦点为、,是椭圆过焦点的弦,则的周长是。2.设,为椭圆的焦点,为椭圆上

13、的任一点,则的周长是多少?的面积的最大值是多少?3.设点是椭圆上的一点,是焦点,若是直角,则的面积为。变式:已知椭圆,焦点为、,是椭圆上一点. 若,求的面积.五.离心率的有关问题1.椭圆的离心率为,则2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为,则此椭圆的离心率为3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率。5.在中,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率.最值问题:1

14、.椭圆两焦点为F1、F2,点P在椭圆上,则

15、PF1

16、·

17、PF2

18、的最大值为_____,最小值为_____......2、椭圆两焦点为F1、F2,A(3,1)点P在椭圆上,则

19、PF1

20、+

21、PA

22、的最大值为_____,最小值为___3、已知椭圆,A(1,0),P为椭圆上任意一点,求

23、PA

24、的最大值最小值。4.设F是椭圆+=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使

25、PA

26、+2

27、PF

28、最小,求P点坐标最小值.同步测试1已知F1(-8,0),F2(8,0),动点P满足

29、PF1

30、+

31、PF2

32、=16,则点P的轨

33、迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆左右焦点为F1、F2,CD为过F1的弦,则CDF1的周长为______3已知方程表示椭圆,则k的取值范围是()A-10Ck≥0Dk>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,1)(3)经过点(5,1),(3,2)5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4

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