概率论中事件的分割思想及其应用

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1、第27卷第2期大学数学Vol.27,.22011年4月COLLEGEMATHEMATICSApr.2011概率论中事件的分割思想及其应用陈维(伊犁师范学院数学系应用数学研究所,伊宁835000)[摘要]讨论概率论中事件的分割思想,给出一类概率论考研题的新解法,并探讨两个不相关(相关系数为零)的随机变量非独立的判别方法.[关键词]概率论;事件分割;随机变量;相关系数;独立性[中图分类号]O211.5[文献标识码]C[文章编号]16721454(2011)020159031引言以下均在概率空

2、间(,A,P)中讨论问题,其中为一随机实验E的样本空间,A是上的代数,P是A上的概率测度.把一个复杂事件分割为有限或可列个两两互不相容的事件的并(和)的形式是概率论中解决相关问题常用的思想方法.全概率公式是概率论中重要的公式之一,它本质上体现了事件的分割思想.实际上,柯尔莫戈洛夫的概率公理化体系中的概率测度的可加性(可列可加)就蕴含了这种分割思想.2相关结果利用两个事件并的概率公式及概率的单调性易得到下面的性质1.性质1设A,B是两个事件,则P(AB)[P(A)+P(B)]/2.[1]设定理11,

3、,n是独立随机变量,1=1(1,,k)和2=2(k+1,,n)分别是(1,,k)和(k+1,,n)的函数,其中k=1,,n-1,则1与2独立.注1定理1给出了判断两个随机变量不独立的一种方法.例如,若2与2不独立,则与不独立.注2周知,若与独立,则与的相关系数(,)=0(称与零相关,也称不相关);反之不成立.由定理1及注2可以证明进一步的结果:推论1[2]随机变量与独立的充分必要条件为的任意函数1=1()与的任意函数2=2()零相关

4、.3一类概率论考研题的新解法1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三中有一道试题:设随机变量i~-1010.250.50.25,(i=1,2),[收稿日期]20090803160大学数学第27卷且满足P{12=0}=1,则P{1=2}=().(A)0(B)14(C)12(D)1此题的得分率较低,其统一解法见文献[3]-[10],它们都是利用1与2的联合分布律与边缘分布的关系,通过列表及待定常数求解的.下面我们利用事件分割思想求解.解由P{12=

5、0}=1及概率的性质知P{1=2}=P{1=2,12=0}+P{1=2,120}=P{1=2=0}.(1)注意到,由两个事件并的概率公式(加法公式)有1=P{12=0}=P{1=0或2=0}=P{1=0}+P{2=0}-P{1=2=0}.(2)故由P{i=0}=0.5(i=1,2),(1)及(2)即得选项(A)正确.文献[11]将上述问题中的条件P{12=0}=1改为P{1+2=0}=1,其余的不变,包括相应的解法.我们仍然利用事件分割思想求解.解由P{i=0}=

6、0.5(i=1,2)及性质1,知P{1=2=0}0.5,P{10,20}0.5.(3)又由P{1+2=0}=1,{1+2=0,12}{10,20}及概率的性质知1=P{1+2=0}=P{1+2=0,1=2}+P{1+2=0,12}P{1=2=0}+P{10,20}.(4)P{1=2}=P{1=2,1+2=0}+P{1=2,1+20}=P{1=2=0}.(5)故由(3),(4)及(5)即得选项(C)正确.注3利用事件分割

7、思想也易证明常用的结果:概率为1或0的事件与任何事件独立.4零相关的两个随机变量非独立的判别方法1999年全国硕士研究生入学统一考试数学四中最后一道试题:已知随机变量1与2的概率分布1~-1010.250.50.25,2~010.50.5,而且P{12=0}=1.(i)求1与2的联合分布.(ii)问1与2是否独立?为什么?文献[12]也是利用1与2的联合分布律与边缘分布的关系,通过列表与待定常数求解的.如直接回答问题(ii),我们可以不依赖于问题(i).解注意到222=P{12=0}=1

8、知数学期望E(12)=0,于是由相关系数公式有2(1,2)=E(2D(220.(6)故由推论1及(6)知,2[参考文献][1]施利亚耶夫AH.概率(第一卷)[M].3版.周概容译.北京:高等教育出版社,2007.[2]LancasterHO.Correlationandcom