对于不同的曲线其弯曲程度一般不同例如

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1、对于不同的曲线,其弯曲程度一般不同.例如：ABA'B'一、曲率的定义AA'BB'··o曲线的弯曲程度与其切线方向变化的夹角的大小及其弧长有关.结论：yxoA将B任意弧段AB==R，有称为曲线段AB的平均曲率，它刻画了一段曲线的平均弯曲程度.OABR对于半径为R的圆，对于直线,其切线方向不变,即,有同一条曲线的不同点处,曲线弯曲的程度可能不同.Def:曲线在A点的曲率为其中为点A及其邻点B之间弧长,为AB上切线方向变化的角度.曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度.xyoxA如图，设曲线的弧长s由点A起算.任取

2、MN=，有由此当充分小时，在一些假定之下(如曲线有连续导数)，二、弧长的微分从而即得弧长微分的公式或⑴⑵⑶关于的具体表示式：三、曲率的计算先计算,考虑曲线在M点的切线,有两边求微分，得四、曲率半径与曲率圆对半径为R的圆,Def:曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的曲率半径，记作几何意义：如图，在A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取一点O，使得OA=(曲线在A点的曲率半径).以O为圆心，为半径作一个圆，称之为曲线在A点的曲率圆.·Ao曲率中心曲率圆与曲线在A点具有以下关系:⑴有共同的切线，即圆

3、与曲线在点A相切；⑵有相同的曲率；⑶圆和曲线在点A具有相同的一阶和二阶导数.表明：讨论y=f(x)在某点x的性质时，若此性质仅与x,y,有关，则只要讨论曲线在x点的曲率圆的性质，即可知这曲线在x点附近的性质.例1.求抛物线上任一点处的曲率和曲率半径.解：xyOA法线：x=0.切线：y=0,求的最小曲率半径时的曲率圆的方程.例2.铁道的弯道分析证明:如图在缓冲段上,根据实际要求例3解如图,受力分析视飞行员在点o作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道的曲率半径得曲率为曲率半径为即:飞行员对座椅的压力为6

4、41.5千克力.运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的数学分支——微分几何学.基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述——曲率;曲线弧的近似代替曲率圆(弧).四、小结