光学信息技术原理及应

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1、光学信息技术原理及应用抽样定理(四)抽样定理的由来和意义实际的宏观物理过程都是连续变化的，物理量的空间分布也是连续变化的。在今天的数字时代，连续变化的物理量要用它的一些离散分布的采样值来表示，而且这些采样值的表达方式也是离散的这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？是否可以由这些抽样值准确恢复一个连续的原函数？本书用的是惠特克—香农（Whittaker-Shannon）抽样定理的二维形式函数的抽样最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘如果被抽样的函数为，抽样函

2、数可表示为梳状函数是函数的集合，它与任何函数的乘积就是无数分布在平面上在，两方向上间距为和的函数与该函数的乘积任何函数与函数相乘的结果仍然是函数，只是函数的“大小”要被该函数在函数位置上的函数值所调制。换句话说，每个函数下的体积正比于该点函数的数值抽样函数抽样函数的频谱利用卷积定理和梳状函数的傅里叶变换，可计算抽样函数的频谱抽样函数的原函数的复原图奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔假如函数是限带函数，即它的频谱仅在频率平面上一个有限区域内不为零若包围该区域的最小矩形在和方向上的宽度分别为和欲使图中周期性复现的函数频

3、谱不会相互混叠，必须使或者说抽样间隔必须满足式中表示的两方向上的最大抽样间距和通常称作奈奎斯特（Nyquist）抽样间隔原函数频谱的复原要原函数的复原首先要恢复其频谱在满足奈奎斯特抽样间隔的情况下，只要用宽度和,位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱就可得到原来函数的频谱。在频率域进行的这种操作去掉了部分频谱成份，常常称作“滤波”用频域中宽度和的位于原点的矩形函数为滤波过程可写作原函数的复原(1)做反变换就可直接得到原函数根据卷积定理，在空间域得到对上式左边两个因子分别进行化简有结果得到无数函数与SINC函数的卷积和

4、原函数的复原(2)最后卷积的结果,愿函数为若取最大允许的抽样间隔，即，并且，则可见用SINC函数做为插值函数可以准确恢复原函数(当然要满足必要的条件)抽样定理的意义抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式抽样定理的重要意义在于它表明，准确的插值是存在的。也就是说，由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息——因此抽样定理是数字化社会的基础，其重要意义怎么讲也不过分抽样定理证明图解（1）抽样定理证明图解（2

5、）空间带宽积若限带函数在频域中,以外恒为零，根据抽样定理，函数在空域中的范围内抽样数至少为式中表示函数在空域覆盖的面积,表示函数在频域中覆盖的面积。在该区域的函数可由数目为的抽样值来近似表示。问题：为什么是近似？抽样定理不是准确的吗？空间带宽积就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：空间带宽积的意义空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息的能力。空间带宽积决定了图象最低必须分辨的象素数，如数码相机的技术指标空间带宽积表达图象的自由度或自由

6、参数数图象是实函数，每一个抽样值为一个实数，自由度为当图象是复函数，每一个抽样值为一个复数，要由两个实数表示。自由度增大一倍，抽样定理例题（1）若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”，系统对线脉冲的输出响应称为线响应。如果系统的传递函数为，求证：线响应的一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴的截面分布。抽样定理例题（1）解证明：线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿方向函数值不变，是常数1。系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为线响应的一维傅里叶变换则为这就是系统传递函数沿轴的截面分布证毕。抽样定理例题（1

7、）解续这里要注意的一点是这是二维傅里叶变换的特点，另一个变量是隐含着的。从这一题中我们还要引伸出一个重要的概念，即二维传递函数测量可以通过一维线响应，即线扩散函数来测量和计算。因为两维的测量在过去没有图像传感器时是相当困难的，而转换成一维信号就可以用全部光能积分随时间变化的线响应来实现了。线响应函数和传递函数的关系习题教科书P22习题1.2，1.5，1.6