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1、幻方方面尚未解决的问题阿部（GakuhoAbe）施学良高治源译摘要：本文收集幻方方面23个尚未解决的问题或猜想，以及与提到的这些问题有关的一些最新结果。1．序言本文收集幻方方面尚未解决的23个问题或猜想，材料来源于新近的研究。我们将提出这些问题并给出最新结果，特别介绍一些新的有趣的幻方。在幻方方面获得的许多已知结果，可从下列日本刊物中找到：FascinatingPuzzlesMonthly(FPM),MeetingofPuzzles(MP),ResearchesinMagicSquares(RMS)和MonthlyAbscus(MA)。幻方的基本概念可以从参考文献[3
2、]第7章和文献[2]、[4]第3章中查找。对幻方的历史和在日本的当前发展情况感兴趣的读者，可查阅参考文献[1]。广义幻方A=(aij)，i≤0,j≤n-1,是由n2个不同的非负整数组成的且具有每行、每列和各对角线上n个数之和均相等的特性的方阵。方阵的行（列）数n称做方阵的阶。如果使用自然数1至n2，则称做幻方。由n2个不同的非负整数（或自然数1至n2）组成的方阵，如各行和各列诸数之和均相等，则称做广义不完全幻方（或不完全幻方）。幻方（aij）如果对所有0≤i,j≤n-1,aij+an-1-jn-1-j=n2+1,称做对称幻方。此外，在幻方（aij）中，如果对每一个i，
3、a0i+a1i+1+…+a(n-1)i+(n-1)和a0i+a1i-1+…+a(n-1)I-(n-1)都相等，则称此幻方为全对角线幻方（或完美幻方）。注意下标常用模n来表示。如果广义幻方A=（aij）的子方阵B=(akl),p≤k≤p+m,q≤l≤q+m(0≤p,q≤p+m,q+m≤n-1)，是其本身的广义幻方，则我们说A包含广义幻方B。特别地，如果幻方A=（aij）包含广义方阵B=(akl),1≤k,l≤n-2则幻方A是镶框幻方（图1）。对于n阶幻方，我们对其连线图定义如下：在包含n2个单元的方阵上，当且仅当aij+akl=n2+1用线条连接cij和ckl形成的图称
4、为连线图（见图1）。令σ为CF(A)的直角旋转图，或中心水平线、是中心垂直线或两条对角线之一的反射图。如果σCF(A)=CF(A)，则σ是CF(A)的自同构。如果直角旋转图是CF(A)的自同构，则CF(A)属旋转型，。如果四个反射图都是CF(A)的自同构，则CF(A)属反射型。当然，也可能存在CF(A)同属旋转型和反射型的情形。21113271331710721230128101151332161151441267910163528131171121415964广义幻方4阶幻方BB的连线图对称幻方现在我们来说明一种规则幻方、，它仅限于奇阶幻方。令n≥3是奇数，a1、a
5、2、b1、b2是与互质的整数。使λ=a1b2-a2b110454471112469233714341741828152427314249203625182614819213033222473516321329345643393840镶框幻方假设λ亦与n互质。对于每一个整数Z，(1≤Z≤n2)我们首先表示Z为Z-1=nr+s,(0≤r,s≤n-1).我们规定方阵X=(xij),0≤ij≤n-1，而令xij=Z,i≡a1r+b1s+c1(modn)和j≡a2r+b2s+c2(mod)当且仅当下列四个条件成立时，则X是n阶幻方：b1c2-b2c1≡λ(e1-1)/2(mod
6、e1),a2c1-a1c2≡λ(e2-1)/2(mode2),b1c2-b2c1+b1≡λ(e1-1)/2(modf1),a2c1-a1c2+a1≡λ(f2-1)/2(modf2),此处e1=(b2-b1,n)(即最大公约数),e2=(a2-a1,n)f1=(b2+b1,n)f2=(a2+a1,n)如果幻方X能用此法得到，我们说它是规则的。否则它是不规则的。如果n阶方阵的各行各列包含所有按某种顺序排列的数0，1，…，n-1,此方阵称为拉丁方阵。对于n阶幻方A=(aij),由aij-1=rijn+si,0≤rij,si,≤n-1我们规定两个n阶方阵R(A)=(rij)和
7、S(A)=(sij)。显然A=nR(A)+s(a)+j，此处J是每个单元均为1的n×n方阵。如R(A)和S(A)均为拉丁方阵，则A称做基本方阵。不然，A称做非基方阵（见图2）。易知，规则幻方是基本幻方，尤其是非基幻方是不规则的。如果R(A)和S(A)都具有每行和每列上n个数之和都相等的性质，则A称为有理的。如果R(A)和S(A)都不具有这一性质，则称A为无理的（见图9）。注意和R(B)和S(B)之一恰恰具有这一性质的幻方B是不存在的。显然，基本幻方是有理的。图2所示幻方X是非基幻方，因为S(X)是拉丁幻方，而R(X)则不是。1．问题和猜想确实存在88
