多元函数微分学的matlab求解

《多元函数微分学的matlab求解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第12章多元函数微分学的MATLAB求解编者Outline12.1多元函数的基本概念12.2偏导数12.3全微分12.4多元函数微分学的几何应用12.5方向导数与梯度12.6多元函数的极值12.7多元函数的泰勒公式12.8最小二乘法及其MATLAB实现12.1多元函数的基本概念1.平面点集与n元空间坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作我们用表示n元有序实数组的全体所构成的集合，为了在集合中的元素之间建立联系，在中定义线性运算如下：设为中任意两个元素，，规定这样定义了线性运算的集合称为n维空间。2.多元函数的定义设D是的一个非空子集,称映射为定义在D上的二元函数，通常记为，或

2、其中点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量。一般地，将上述定义中的平面点集D换成n维空间内的点集D，映射就称为定义在D上的n元函数，通常记为或简记为3.多元函数的极限设二元函数在点的某邻域内有定义（可以除外），如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使当时，恒有成立，则称当时，函数以常数A为极限，记作或为了区别于一元函数的极限，我们将二元函数的极限叫做二重极限。4.多元函数的连续性设二元函数满足以下条件：在点的某邻域内有定义；极限存在；则称函数在点连续。如果函数在其定义域D的每一点都连续，那么就成函数在D上连续，或者称是D上的连续函数。二元连续函数在图形上表现为一个无空隙、

3、无裂缝的曲面。与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质。有界性与最大最小值定理在有界闭区域上的多元连续函数，必定在上有界，且能取得它的最大值和最小值。介值定理在有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。12.2偏导数1.偏导数的定义设函数在点的某一领域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应的函数有增量如果存在，则称此极限为函数在点处对x的偏导数，记作或2.偏导数的几何意义以二元函数为例，其在点的偏导数有下属几何意义。设为曲面上的一点，过作平面，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为，则导数，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对x轴的斜

4、率如图所示。图偏导数的几何意义3.偏导数的MATLAB符号求解在MATLAB中，求解多元函数的偏导数仍然采用diff函数。例：设，求及。如果函数的两个二阶混合偏导数在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。4.隐函数的偏导数设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，且，则方程在点的某一领域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并且类似地，扩展到n元隐函数，则可以通过隐函数求出自变量之间的偏导数。具体可以用下面的公式求出：12.3全微分1.全微分的定义设函数在点的某邻域内有定义，如果函数在点,的全增量可表示为其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在

5、点的全微分，记作，即如果函数在区域内各点处都可微，那么称这函数在内可微分。下面讨论函数，在点可微分的必要条件和充分条件。必要条件如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数必存在，且函数在点的全微分为充分条件如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微分。2.全微分的应用由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数在点的两个偏导数连续，并且都较小时，就有近似等式上式也可以写成12.4全微分1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为这里假定上述方程的三个函数都在上可导，且三个导数不同时为零。现在要求曲线在其上一点处的切线及法平面方程。设与点对应的参数为，记，则向量就是曲线

6、在点处的一个切向量，从而曲线在点，处的切线方程为通过点且与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面，它是通过点且以为法向量的平面，因此法平面方程为2.曲面的切平面与法线我们先讨论由隐式给出曲面方程的情形。设曲面由上述隐式方程给出，是该曲面上的一点，并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零。在该曲面上，通过点M任意引一条曲线。曲线上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面在点M的切平面。通过点M且垂直于上述切平面的直线称为曲面在该点的法线。切平面方程：法线方程：12.5方向导数与梯度1.方向导数设是平面上以为始点的一条射线，是与同方向的单位向量，射线的参数方程为设函数在点的某个

7、邻域内有定义，为上另一点，且P在该邻域内。如果函数增量：与P到的距离的比值当P沿着趋向于时极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作则：2.梯度与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度，在二元函数的情形，设函数：在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定义出一个向量这向量称为函数在点的梯度记作或即12.6多元函数的极值1.多元函数的极值及其求法设函数的定义域为D，为D内一点，若存在的某个邻