[工学]11自控chapter

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1、3.6线性系统的稳定性分析观察：增益(Gain)分别为1，4，7时的阶跃响应。3.6.1初始条件下的运动3.6.1稳定的概念和定义平衡位置（状态）的稳定性：它描述系统在受到外界的干扰，偏离了平衡位置，在干扰除去之后，系统是否能回到平衡位置的能力。1系统的运动随时间离平衡位置越来越远；不稳定系统的运动随时间离平衡位置越来越近，无穷时回到平衡状态。稳定系统的运动随时间在平衡位置附近振荡。临界稳定稳定性系统结构与参数受扰运动系统的脉冲响应3.6.2线性系统稳定条件扰动作用前，系统位于平衡点0，即坐标原点（输入为零，输出也为零）。设扰动信号为理想的脉冲信号，

2、系统的扰动响应就是脉冲响应g(t)。等于零：稳定不等于零：不稳定3.6.2线性系统稳定条件Re{si}<0时，g(t)0Re{si}=0时，g(t)有界Re{si}>0时，g(t)3.6.2线性系统稳定条件反馈系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点均有负的实部。系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有极点位于s平面的左半开平面。S平面3.6.1稳定的概念和定义注意：1稳定性是系统自身的固有特性，与外输入的大小、形式无关。本文所讨论的稳定性是渐进稳定性，临界稳定不是渐进稳定的。3.6.2线性系统稳定条件解：D(s)=1+G(s)H(s),D(

3、s)=0即k=0.5或10,系统稳定否?例如：单位负反馈系统的求K=1时系统的稳定性。s3+s2+s+k=0,K=1s3+s2+s+1=0s2(s+1)+s+1=0(s2+1)(s+1)=0Roots-1,+j,–j系统稳定？系统稳定k的取值范围?3.6.3稳定判据稳定的必要条件可推出特征根具有负的实部的必要条件是各系数同号且不缺项。3.6.3稳定判据例如3.6.3稳定判据特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0劳斯表：Snanan-2an-4an-6sn-1an-1an-3an-5an-7sn-2(an-1.an

4、-2-an.an-3)/an-1…SS0a0劳斯判据3.6.3Routh-Hurwitz稳定判据特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0劳斯判据：D(s)的正实部根的数目同劳斯表第一列中符号变化的次数相等。系统稳定的充分必要条件为:劳斯表第一列元素的符号不变化。4种情况区别对待。3.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例1：特征方程：s3+5s2+3s+2=0列劳斯表：劳斯表第一列元素不变号，系统稳定。s313s252s(15-2)/5s023.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例2：特征方程：s4+2s

5、3+3s2+4s+5=0列劳斯表：劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。s4135s3240s215s-6s053.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例3：特征方程：a2s2+a1s+a0=0列劳斯表：s2a2a0s1a10s0a0系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即ai>0课堂练习：已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)=10/s(s+1)(s+2),判断其稳定性。解：1)写出特征方程1+G(s)H(s)=02)列劳斯表：3)判断并得出结论3.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例5：特征方程：s4+s3+s2+

6、s+k=0,(k>0),能否通过选择k使系统稳定？列劳斯表：s411ks3110s20k第一列出现零元素3.6.3Routh-Hurwitz稳定判据劳斯表第一列元素变号两次，系统有两个正实部根，系统不稳定。s411ks3110s2eks1(e-k)/e0s0k3.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0,求s右半平面有几个根？列劳斯表：劳斯表中出现全零行s41-32s31-10s2-22s100s023.6.3Routh-Hurwitz稳定判据例6：特征方程：s4+s3-3s2-s+2=0列劳斯表：s41

7、-32s31-1s2-22s1-40s02劳斯表中出现全零行构造辅助多项式F(s)F(s)=-2s2+2求导：F’(s)=-4s系统有两个正实部根。关于坐标原点对称的根，可由辅助方程求得。F(s)=0,s=+1,-13.6.3Routh-Hurwitz稳定判据特征方程：s3+14s2+40s+40k=0，求系统稳定k的取值范围。劳斯表：s3140s21440ks1(14*40-40k)/14s040k(14*40-40k)/14>040k>0稳定的条件为0

8、szas=z-a,a>0原特征方程D(s)=0现特征方程D(z)=0坐标变换引入：s=z-1,特征方程Z3+