代数学(第4讲)

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1、第四讲§1.3，同构,Cayley定理复习有关内容：1,设s是一个非空集合，如果在s上定义了一个二元运算则称（sj为一个群胚。一个群胚中的运算“”如果是可结合的，则称为一个半群。一个半群（sj中如果存在一个恒等元（单位元）1，则称（u）为一个么半群。一个幺半群m中如果每一个元都有逆元，贝!］称（g，•，1）为一个群。2，一个么半群（S，，l）的一个子集M称为（S,，l）的一个子么半群如果leA/并且Va力。幺半群（S,，l）的一个子幺半群（W,，l）如果是一个群，贝IJ称（U）为（S,，l）的一个子群。3，设S是一个非空集合。那么么半群的子么半群称为S的变换么半群。么半

2、群的可逆元群t/（M（S））={«eM（5）

3、cr是S的双射}称为集合S的对称群，记为SymSo对称群SyznS的子群称为S的变换群。特别地，当S为有限集时，称对称群即的子群为置换群。新课：一、同构的定义1,定义1.3，设和是两个幺半群。它们称为同构的，记为MsAf，如果存在（M，.，l）到（M，，1’）的一个双射7使得V«，Z?eM，均有"（ah）=7⑷7⑼，同时7（1）=1’。此时//称为到（M',-,1）的一个同构映射。2，定义1.3中的条件=是多余的。事实上，WeM，x.l=x=l.x，所以，为7是满的，所以70）应是中的恒等元。由恒等元的唯一性知，7（1）=1

4、。例1:设Z是整数集，2Z=｛2n

5、neZ｝是偶数集。那么(Z，+，0)与(2Z，+，G)都是么半群(实际上它们都是群，运算是数的加法，单位元都是0)。现作映射Z7:Z^2Z，其中7⑻=2n，V，!eZ。则Z7是(Z，+，0)到(2Z，+，0)的一个同构映射。事实上，映射/7:Z^2Z显然是一个双射，并且Vfl，heZ：均有7j(a+b)=2(a+b)=2a+2b=rj(a)+7l(b),因此(Z,+,0)三(2Z，+，0)。3,同构作为幺半群之间的一个关系是等价关系。因为(1)任何么半群与自身同构(取恒等映射)反性成立)(2)设是一个同构映射，那么Vx，yeM，均有"

6、⑽=7j(x)7j(y)9从而々="-1(7(x)Z7(j))o现令x="(x)，V=rj(y),则有x=Jj~i(x'),y=7j~y)t是/7»_1(；/)=7»’)对所有x.，y’eA/’都成立(因为//是满射)。所以Z71是M到M的一个同构映射(对称性成立)。(3)设<7是M到M的一个同构映射，那么Vx，yeM，(O7j)(xy)=吻⑽)=cr(jj(x)Jj(y))=a(jj(x))cr(f/(y))=(<7")(义)•(OT/Ky)。因此，是一个同构映射(传递性成立)。二，幺半群(群)的实现1，幺半群与群的Cayley定理：(1)任一个幺半群与一个变换么半

7、群同构；(2)任一个群与一个变换群同构。证明：(1)设(M，，l)是一个幺半群，aeM。作映射aL:MM,aL(x)=ax9称为M上的一个内左平移(左乘)，记小eA/｝。显然，下证(A/,，.)是幺半群(M(M)，■，/,w)的一个子么半群。首先1»1，=/“%)，因此即A7,含有恒等映射

8、映射使得V〃e⑷=〜。显然是满射，又为(p、a、=(p、b、=>aL=bL=>aL(1)—bl(1)3“•1=/?•1=>“=/?，以p是单射。因此p是双射。其次，/a,beM，(p、ab、=、ab、L=aL-bL=(p(a)(p(b)，所以是財到仏的一个同构映射，即a—(2)设(

9、限群同构于一个置换群§1.4,广义结合性，交换性一，广义结合性1,引理••设(M，J)是一个么半群,aigM,i=1，2，...，ho定义如下：n，n“,=(n“,m+i，则/=!n+m(rp)(n%)=n^。/=17=1/=1aan+jIan+k+a：证明：用数学归纳法。当，n=l时，由定义结论成立。假设m二时结论成立，那么当m=&+l时，我们有n+k+a:n/=1证毕。2,定理:设是一个幺半群,aigM,i=1，2，...，ho那么，4,6f2，...，6Z„按次序的所有添加括号的积均相等，它们的值为。/=1证明：首先，的任