时域与频域响应

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1、第三章時域與頻域響應本章重點：本章的內容為下一章的基礎﹐將對數位信號在時域與頻域的一些運作方式與特性作一番剖析與驗證。DSP的數學基礎例如Z轉換、反Z轉換、離散傅立葉轉換以及其特性。以上兩部份是DSP的重要骨幹﹐希望讀者能夠深入練習與體會。1系統的時域響應探討系統在時間軸上的變化，稱為時域響應。在時域中表示一個系統的方法﹐最普遍的方式為動態方程式。以下各小節說明之。23.1.1動態方程式響應系統在時域上的響應行為，可以用數學方程式來描述，稱為系統的動態方程式。系統的動態方程式﹐表現出在時間變化軸上的系統輸入與輸出的關聯行為﹐在數位信號的表示法稱為差分方程式(Difference

2、equation)。其形式為：(3.1-1)應用MATLAB的指令為filter。範例3.1-1。模擬結果：如圖3.1-1與圖3.1-2。3圖3.1-1步階響應圖4圖3.1-2脈衝響應圖53.1.2零態(Zerostate)與零輸入(Zero-input)響應若不考慮輸入的影響，只考慮初始狀態值(Initialstatecondition)的響應，稱為零輸入響應(Zeroinputresponse)。若只考慮輸入的影響，不考慮初始狀態值的影響（即初始狀態值為0），稱為零態響應(Zerostateresponse)。範例3.1–2。模擬結果：如圖3.1-3至圖3.1-5。6圖3.

3、1-3輸入信號圖7圖3.1-4零態響應與零輸入響應圖8圖3.1-5零態響應加零輸入響應與總響應圖93.1.3線性摺積(LinearConvolution)對一個線性非時變(LTI)的系統﹐輸出的信號y(n)可以經由輸入信號x(n)與系統的脈衝響應T(n)的線性摺積而求得。線性摺積的定義如下：(3.1-2)3.1-2式也可表為(3.1-3)以上的數學式3.1-2﹐如圖3.1-6。數學式3.1-3﹐，如圖3.1-7。這兩個圖形可執行範例3.1-2-1程式獲得。MATLAB所用的指令為conv﹐範例3.1-2-1;模擬結果：如圖3.1-6與圖3.1-7。10圖3.1-6脈衝響應對摺圖

4、11圖3.1-7輸入信號對摺圖123.1.4環形摺積(CircularConvolution)環形摺積就是把線性摺積的頭尾相連﹐變成環狀﹐一個在內環﹐另一個在外環﹐然後每乘加一次﹐就內環不動﹐外環順時鐘方向轉一次﹐再進行乘加﹐如此一直進行到尾端為止。其觀念如圖3.1-10所示。13圖3.1-10環形摺積示意圖14環形平移在程式的演算法中是以平移(Shift)來表現出來﹐如圖3.1-11所示。一個環形摺積運算﹐考量的有二個﹐一個是它總共有幾點（以N表示）﹐另一個就是轉動幾點(以m表示)。15圖3.1-11環形平移的序列示意圖16圖3.1-12對摺後再擺成環形的序列圖17以環形摺積

5、求系統響應把輸入序列當內環，系統脈衝響應當外環，補零後進行環形摺積，結果便是系統響應。請參考範例3.1-6。範例3.1-4模擬結果：如圖3.1-13及圖3.1-14。範例3.1-5模擬結果如圖3.1-15。範例3.1-6模擬結果：如圖3.1-16與圖3.1-17。18圖3.1-13原信號及對摺後的信號圖19圖3.1-14取前10點作3點的環形平移圖20圖3.1-15補零(5點)的環形平移21圖3.1-16輸入信號與脈衝響應序列22圖3.1-17線性摺積與環形摺積圖233.1.5區塊摺積(BlockConvolution)處理的方式有二種﹐一為重疊儲存法(Overlap-save

6、)另一為重疊相加法(Overlap-add)。重疊儲存法(Overlap-save)(參考範例3.1-7至範例3.1-9)重疊儲存法的步驟說明﹐如圖3.1-18所示。重疊相加法(Overlap-add)(參考範例3.1-10至範例3.1-12)重疊相加法的步驟說明﹐如圖3.1-19所示。24圖3.1-18重疊儲存法示意圖25圖3.1-19重疊相加示意圖263.2系統的頻域響應3.2.1Z轉換(Z-transform)在z轉換中為了避免無窮級數發散的z範圍限制條件﹐稱為收斂區域(Regionofconvergence簡稱ROC其示意圖如圖3.2-127圖3.2-1步階函數z轉換的

7、ROC示意圖28z轉換的特性：取樣平移特性(sampleshifting)：參考範例3.2-1。z定義域微分特性：參考範例3.2-1。模擬結果：如圖3.2-2頻率平移特性(Frequencyshifting):參考範例3.2-2。對摺特性(Folding):參考範例3.2-3與範例3.2-4。模擬結果：如圖3.2-3與圖3.2-4。線性特性：參考範例3.2-5。模擬結果：如圖3.2-5。摺積(Convolution)特性：系統在頻域上Z轉換的脈衝響應=系統在時域上的零態響應29圖3.2-2Z