导热问题数值解法

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1、第四章导热问题的数值解法Numericalmethodforheatconduction1求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法2.三种方法的基本求解过程:(1)理论分析方法:直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，获得解析解(closesolution)(2)数值计算法:把在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解(numericalsolution)(3)实验

2、法:在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法对所研究对象的传热过程进行实验研究，从而求得所求量的方法3三种方法的特点(1)分析法a能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；b局限性很大，对复杂的问题无法求解；c分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。(2)数值法在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。(3)实验法传热学的基本研究方法，a适应性不好；b费用昂贵。数值解法：有限差分法(finite-differencemethod)、有限元法(finiteelem

3、entmethod)、有限体积法(finitevolumemethod)、边界元法(boundary-elementmethod)、离散元法(discreteelementmethod)······传热（物理）问题的数值求解过程建立控制方程及定解条件区域离散化建立节点物理量的代数方程求解代数方程组获得数值解并分析结果4.1有限差分法的基本原理将求解区域离散、以节点网格代替物体，以每个节点的温度作为未知量在节点上用差分代替微分，将微分方程式近似地变成差分方程式——线性的代数方程组解此代数方程组，得到节点上温度的近似值1、基本思想：函

4、数在点的泰勒级数展开形式为：函数、、、在点x的泰勒级数展开式分别为：(a)(b)(c)(d)2、函数f（x）在点x的导数的有限差分表达式：由式(a)得：由式(b)得：由式(a)与式(b)相减得：由式(a)和式(c)消去得：由式(b)和式(d)消去得：(e)(f)(g)(i)(h)由式(a)和式(b)消去得：由(e)式～(j)式分别略去以上各项得一阶、二阶导数向前、向后及中心差分公式为：、及(j)、一阶导数向前差分：一阶导数向后差分：一阶导数中心差分：二阶导数向前差分：二阶导数向后差分：二阶导数中心差分：一阶导数的差分及其误差：引入

5、下列关系式：函数f（x）在点x的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：图4-2有限差分表达式的几何意义式中：向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分应用较广。4.2稳态导热问题的差分表达式1。内部节点的差分方程式物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程：图4-3间距为Δx、Δy的矩形网格（a）将整个区域划分步长为的矩形有限差分网格，节点的坐标(x，y)为：pi、j为整数节点P的温度t（x，y）和热源可表示为：在节点P，温度对x和y的二阶导数的有限差分表达式：将上式代入方程(a)中可得二维稳态导热方程的有限差分形式为：

6、如果假定正方形网格为,则：物理意义：节点热平衡2边界上节点的差分方程式1.对流边界节点(i，j)边界面上的节点(i，j)满足下面的第三类边界条件：图4-4对流边界节点（e）假想节点那么，在节点(i，j)处的导热方程的有限差分形式为：，再利用中心差分公式，边界条件(e)式的有限差分形式为：（f）(g)联立式(f)和式(g)，并消去得如果图中所示边界为绝热边界，则导热方程在节点(i，j)的有限差分形式可直接在上式中令得到，即2.两对流边界相交处的节点(i，j)图4-4对流边界节点由于其处于两个边界上，则其边界条件为:在节点(i，j)处

7、导热方程的有限差分形式可写为：边界条件的有限差分形式为：(j)(k)(m)联立式(j)、式(k)和式(m)，并消去和得：若两个边界都是绝热的，在上式中令得：用有限差分法求解二维稳态导热问题的步骤：1领域划分。将物体分割成很多小方块，以每个小方块的中心为节点，形成有很多节点的网络。2列方程。根据表4-1中所列出的公式，找出对应节点的节点方程。有多少个温度未知的节点就列出多少个方程，将这些线性方程组成线性方程组。3求解线性方程组。便得到各节点的温度值。计算精度取决于网格疏密程度。对于传热和流体力学问题的求解，一般认为差分法优于其他数值

8、方法。4.3线性代数方程组的求解4.3.1直接法高斯一约当消元法对于n阶线性方程组用矩阵形式表示消元步骤：(1)首先使第一行主对角线上的元素为主元素——绝对值最大的元素。如果主对角线上的元素不为主元素，那么可以利用换行的方法把主元素调到主对角钱上来