依托数列教学培养学生的能力

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1、依托数列教学培养学生的能力依托数列教学培养学生的能力，主要是指抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。数列主要内容是数列的概念与表示，数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学概念。通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立数列的概念，力求使学生在探索中掌握与数列有关的一些基本数量关系，感受数列的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题，进一步感受数列与现实生活的联系和具体应用。一、基本量法解决基础问题，理解性质简化运算要引导学生熟练掌握并灵活运用通项公式及前n项和公式是解决数列问题的基础；抓

2、住首项和公差（或公比），是解决等差（或等比）数列问题的关键；灵活运用等差（或公比）数列性质，如：若数列｛an｝是等差数列，则an=am+（n-m）d）（其中m，nN*），am+an=ap+aq（其中m，nN氺，m+n=p+q）是巧解等差（或公比）数列问题的法宝；巧设未知量，是简化运算的重要途径，如：若三数成等差数列，设这三个数分别为a-d，a，a+d，若四个数成等差数列，设这四个数分別为a-3d,a-d，a+d，a+3d,可以大大简化运算。等比数列问题与此类似。［例1］数列｛an｝的各项的倒数组成一个等差数列，若a.3=-l，a.5=+l,求all。解析：

3、设等差数列为｛bn｝，公差为d，bn=,基本量法求出bll,进而all==o学生对数列概念的灵活运用及运算能力，一道题中涉及两个或两个以上的数列时，审题需要特别细心，否则会出现失误，本题中数列Un｝并不是等羌数列；［例2］(1)等差数列｛an｝中，ap=q,aq=p,求ap+q,Sp+q；(2)一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和。解析：通过本题的解决，熟练掌握基本方法的同时，总结解题技能，简化解题步骤提高运算能力，同时作为半成品记住结论。(1)ap+q=0,Sp+q=(2)S110=_110,特殊与一般的思想木题可以：“

4、如果等差数列的前m项和为n，前n项和为m，那么前m+n项之和为-(m+n)。二、自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数”的思想函数思想贯穿子高屮数学的始终。在其他必修内容屮出现的函数基本上是连续函数，本模块中的数列为学生提供了离散函数模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来，有助于加深对一次函数、指数函数的认识。同时，教学中要通过列表、图象、通项公式表示数列，把数列融于函数之中，有助于提升学生对函数思想的理解水平。［案例］已知函数f(X)=(x-1)2,数列｛an｝是公差为d的等差数列，数列｛bn｝是公比为q(qER且q#l)的等比数列，若al=

5、f(d—1)，a3=f(d+1),bl=f(q—1)，b3=f(q+l)o(1)求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式；(2)设数列｛cn｝对任意自然数n都有an+l=成立，求cl+c3+c5+…+c2n-1的值;(3)比较与的大小。解：(1)｛an｝为等差，公差为da3-al=(d+l_l)2-(d-2)2=2d=2｛bn｝为等比，公比为q==q2q=l(舍)q=3...an=2n-2bn=3n-1(2)由己知，cn满足2n=++“*+-2(n-l)=++•••++.•.2=/.cn=2?3n-lcl+c3+…+c2n-l=(3)••••••当n二1时“二”

6、；当n彡2时,猜“〉”又...•••只需证“n彡2”时，3n〉2n+l(数学归纳法或者二项式定理)三、要把数列视为反映自然规律的基本数学模型通过发掘了日常生活中大量实际问题，比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、谢宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等，使学生充分感受到数列是反映现实生活的重要数学工具，体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活的，要强调在具体问题情境中，发现数列的关系，既突出问题意识，也有助于对数学木质的认识，从而提高运用数列模型解决实际问题的能力。［案例］某市

7、政府投入资金进行环境治理，并以此促进旅游产业发展，据市财政规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少，本年度本市旅游业收入估计400万元，由于环境治理项目对旅游业的促进作用，预计今后每年旅游业收入会比上年增加。（1）分别写出n年内环境治理总投入和旅游业总收入的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超？"环境治理总投入。解析：（1）分别设n年内环境治理总投入和旅游业总收入为an,bn,建立数学模型是两个等比数列的和，｛an｝首项800，公比的前n项和;｛bn｝首项400,公比的前n项和。an=4000-4000,bn=1600-1600。（2）

8、设至少经过n年旅游业的总收入才能超过环境治理总投入，即bn-an>