工程矩阵理论东南周建

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1、工程矩阵理论1教材工程矩阵理论，张明淳，东南大学出版社参考书高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等教育出版社MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,1985(中译本，杨奇译，天津大学出版社）2要求重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟悉课本；通过例题，掌握相关概念和理论；通过练习题，熟悉相关理论、方法；及时复习、总结，巩固所学内容。3本课程大致内容第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间

2、、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆4矩阵理论5第0章复习与引深矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组及秩矩阵的秩及等价标准形6矩阵的乘法中应注意的问题1存在非零零因子例172不可交换8由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立9例310分块矩阵的乘法规则设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，11条件：上式有意义12一些特殊的分块形式1.13（接上页）14（接上页）15（接上页）16非齐次线性方程组1.线性方

3、程组2.3.17齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当18Gauss消元法19例520简化阶梯形矩阵21例522例623例624向量组的极大无关组及秩25例726矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：27例8若A是可逆矩阵，证明r(AB)=r(B).28例9设A是n阶幂等矩阵，证明：29矩阵的等价标准形30（满秩分解）31例11：32线性空间和线性变换第一章33第一节线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.34如果满足

4、下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。35例136例1（续）37线性空间的性质38第二节基、维数和坐标如：在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。39一些重要结论40一些重要结论（续）41例142定义（基，维数）43注：44例245定理146定义（坐标）：47例448例549注2.基的几何意义1.线性空间的基是有序的。50定理251例652例753形式记号54形式记号55形式记号的性质56例857定义(过渡矩阵)58过渡矩阵的性质

5、59例960定理3(坐标变换公式)61例1062第三节子空间,交与和63定理164两类重要的子空间65命题：66例167例268例369例470定理271子空间的交与和72注：交与并的区别73定理4（维数定理）74例575例676例777直和78定理579例880例981多个子空间的直和82定理68384第四节线性映射8586定义：87例188例189例290注91线性映射的性质：92例393例494线性变换的运算它们都是线性变换。95线性变换的运算的性质：证明：96线性映射（变换）的矩阵：97例98例5

6、99定理2100定理3101例6102定理4其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。103第五节线性映射的值域及核子空间104值域的计算105核子空间的计算106定理2（线性变换的维数定理）107注：对无限维空间，推论不成立。（反例）108例1109定义（不变子空间）：110为何要讨论不变子空间？111为何要讨论不变子空间？112例2113线性空间的同构114115116117第二章内积空间、等距变换118第一节基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C119例1120内积

7、的性质121度量矩阵122向量的模（长度）123C-B不等式124三角不等式125正交性126标准正交基127标准正交基下的内积128Schmidt正交化方法129例2130例3131酉矩阵132定理1133Schmidt正交化方法的应用134注135矩阵的UT分解136例137定理2138第二节正交补空间139正交补空间140正交补空间的计算141正交补空间的计算142例1143一个几何问题空间中点到直线的距离：·144空间中向量到子空间的距离：145146例2147例3148最小二乘解149第三节等距

8、变换150例1151定理1152关于直线的反射153欧氏空间中的反射154镜像变换155156第三章矩阵的相似标准形157矩阵与线性变换本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。158第一节特征值与特征向量159矩阵的相似对角化160线性变换的特征值、特征向量161线性变换的可对角化问题162例1163线性变换的特征值、特征向量的计算164例