实变函数论讲义

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1、第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的 讨论.1.1集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复

2、数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5}; 一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x

3、x>20,且x为自然数}.一般 地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x

4、x具有性质P}.对于给定 的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属 于集合A,记为aA.给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记 为A

5、B或BA;进而,若同时有AB和BA，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然 是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集. 例1.1.1写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N. {1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1 集合及相关概念共23=8个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是： C0n+C1n+…+Cnn=2n,其中Ckn=n

6、!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为2A.1.1.1集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算, 并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种. 定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x

7、x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B ,或A+B;集合{x

8、x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB; 推而广之,给定集合族{Aα}α∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族

9、的并集与交集分别为∪α∈ΓAα={x

10、α∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈ΓAα={x

11、α∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x

12、x∈A且xB}称为A与B的差集,又称补集，记为A\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知AB,则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集,SB 简记为Bc.而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B. 例1.1.2设Aj=x0≤x≤1+

13、1j,j=1,2,…,Bi=x-1+1i≤x≤1-1i,i=1,2,…,Ck=x- 1k

14、0≤x≤1},∪∞i=1Bi={x

15、-1

16、A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. (3)分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα). (4)大小关系(A∩B)A(A∪B).(5)若AαBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAα∪α∈ΓBα,∩α∈ΓAα∩α∈ΓBα;特别地,若AαC或CBα,α∈Γ,则∪α∈ΓAαC,C∩α∈ΓBα.证明下面仅证A∩∪α∈ΓBα=∪α∈Γ(A∩Bα).任取x∈A∩∪α∈ΓBα,则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈Γ(

17、A∩Bα),由x的任意性得A∩∪α∈ΓBα∪α∈Γ(A∩Bα).反过来,任取x∈∪α∈Γ(A∩Bα),则α0∈Γ,使得x∈