[工学]2-1导数的定义

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1、第二章导数与微分*微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数和微分.*两个基本概念来源于两类问题:1)研究函数在某点变化的快慢,即变化率问题;2)研究当自变量变化少许时,函数变化了多少,即改变量问题;*本章基本内容就是建立导数和微分的概念,讨论函数的求导方法和微分运算方法.前者引出“导数”概念,后者引出“微分”概念.第一节导数的定义概念的引入导数的概念导数的意义可导与连续的关系一、概念的引入例1设作直线运动的质点,它的路程规律是s=s(t),则它在时刻t0的速度v(t0)是什么?割线的极限位置——切线位置例2求曲线的切线方程.例2求曲线

2、的切线方程.点N沿曲线C而趋于点M时，割线MN绕点M转动而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。极限位置的含义：

3、MN

4、→0时有∠NMT→0。割线的极限位置——切线位置另一方面变速直线运动的瞬时速度:曲线的切线斜率：两者的共性：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限二、导数的概念1.点导数的定义定义2.导数也可记作说明:1.“可导”，“导数存在”，“具有导数”意义相同.3.导数的定义是构造型的,它是函数的一种特殊形式的极限.4.点导数是因变量在点x0处的变化率，它反映因变量随自变量的变化而变化的快慢程度的精确描述.5.导数的不

5、同记号:如果导数不存在的原因是,6.如果极限不存在,则称函数f(x)在点x0不可导.则称函数f(x)在点x0的导数为无穷大.2.单侧导数的定义右导数:左导数:3.导函数(区间导数)的定义★★说明:1.对于闭区间的端点,只要求单边可导.2.在上述极限表达式中,是变量,是常量。(称呼:导数、导函数、导数值)3.与之间的关系:注意：单侧导数不可记作,它们表示的是导函数的右、左极限.步骤:例3解4.由定义求导数例4解一般地:例如:例5解类似的，例6解特别：例7解★请记住以下基本求导公式:例8解解例91.概念中的导数在均匀情况下,凡是用除法定义的概念或

6、物理量,在不均匀的情况下,绝大多数是导数。其他如:种群的生长率和死亡率;放射性物质的衰变率;战争中物资和战斗力的损耗率;冷却过程中的温度变化率等等,都与导数有关.三、导数的意义2.导数的几何意义切线方程：法线方程：切线的斜率:特殊情况：注意:导数存在有切线例10分析凡涉及切线、法线的问题，关键在于寻求切点和切线的斜率.解四、可导与连续的关系证定理凡可导函数都是连续函数.连续函数不存在导数举例（介绍）0例如,注意:不连续一定不可导；但连续未必可导.★如例8中y=

7、x

8、在x=0处连续但不可导.0例如,例如,011/π－1/π加深对导数概念的理解；

9、基本求导公式的推导；分段函数分界点处的可导性讨论；抽象函数导数存在性的证明等.物理典型:速度问题几何典型:切线问题导数的概念:函数对自变量的即时变化率导数的定义:当自变量的增量趋于零时,函数增量与自变量增量之比的极限。利用定义求导数求切线和法线方程可导与连续的关系★本讲内容小结作业P.633.5.6.7(4).8.9.10(4).12下讲内容预告利用定义计算导数有时很复杂,甚至不可能,那么如何较方便地解决函数(特别是初等函数)的求导问题呢？我们将在2.2节中讨论解决这一问题.割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置—

10、—切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置割线的极限位置——切线位置