2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.6垂直关系1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2

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1、6.2　垂直关系的性质1.理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理.(重点)2.理解并掌握空间“平行”与“垂直”之间的相互转化.(难点、易错点)3.能灵活地应用线面与面面垂直的性质定理证明有关问题.(难点)[基础·初探]教材整理1　直线与平面垂直的性质定理阅读教材P39“练习2”以下至P40“例3”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.2.符号语言：l⊥α，m⊥α⇒l∥m.3.图形语言：如图1618所示.图16184.作用：证明两直线平行.在圆柱的

2、一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)A.相交B.平行C.异面D.相交或平行【解析】　圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确.【答案】　B教材整理2　平面与平面垂直的性质定理阅读教材P40“例3”以下至P41“例4”以上部分，完成下列问题.1.文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.2.符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.93.图形语言：如图1619所示.图1

3、6194.作用：证明直线与平面垂直.若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)A.直线a必垂直于平面βB.直线b必垂直于平面αC.直线a不一定垂直于平面βD.过a的平面与过b的平面垂直【解析】　α⊥β，aα，bβ，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A，B，D都错误，故选C.【答案】　C[小组合作型]线面垂直的性质　如图1620，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求

4、证：EF∥BD1.图1620【精彩点拨】　连接AB1与CB1，证明EF，BD1都与平面AB1C垂直.【自主解答】　连接AB1，B1C，BD，B1D1，如图所示.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，9∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.证明线线平行常有如下

5、方法：(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点；(2)利用平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.[再练一题]1.如图1621，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.图1621【证明】　因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝

6、E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB，因此，a∥l.面面垂直性质的应用　如图1622，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝.等边三角形ADB以AB为轴转动.9图1622(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.【导学号：39292040】【精彩点拨】　(1)利用面面垂直构造直角三角形，使所求线段为其一边，通过解三角形求解.(2)分D是否在平面ABC

7、内进行讨论.【自主解答】　(1)如图，取AB的中点E，连接DE，CE.因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又AC＝BC，所以AB⊥

8、CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.1.面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法.所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直.2.证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理.应用后者时要注意：(1)两个平面垂直；(2)直线在一个平面内；(3)直线垂直于交线.以上三点缺一不可.[再练一题]92.如图1623，四棱锥VAB