高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型教材梳理素材新人教a版必修1

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1、3.2.1几类不同增长的函数模型疱丁巧解牛知识·巧学·升华利用计算器或计算机列数据表，作出几种函数的图象，比较指数函数、一次函数、常数函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.资料剖析：例1是与我们生活息息相关的问题，如何投资才能得到更大利润？例题的解答过程为我们展示了新的思路、方法.先建立三种投资方案所对应的函数模型，用计算器、计算机作出三个函数的图象，探索比较它们的增长情况，最后得出相应的结论，为选择投资方案提供依据.资料剖析：例2是具有探索性的问题.先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计

2、算，确认结果.深化升华注意此处空半格通过例1、例2的学习，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.我们在解题中，应大胆尝试、大胆探索，提高数学的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，发展独立获取数学知识的能力.问题·思路·探究问题如何正确地将实际问题转化为函数模型，如何确定函数模型的种类.探究:正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.我们是通过对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较来确定函数模型的种类.比如：某信息研究所

3、对猪肉的市场需求量和供给量进行了市场调查，得到以下数据：价格为4元/千克，需求量为80吨，供给量为56吨；价格为4.8吨/千克，需求量为77吨，供给量为68吨；价格为5.6吨/千克，需求量为73吨，供给量为74吨；价格为6.5吨/千克，需求量为65吨，供给量为80吨；价格为7.2吨/千克，需求量为60吨，供给量为90吨.试分析市场的供求规律，探求市场的供需平衡点（即供给量和需求量相等点）.先将问题的信息浓缩为下面的表格，可以直观地抓住问题的关键信息：价格P（元/千克）44.85.66.57.2需求量Q（吨）8077736560供给量Q（吨）

4、5668748090运用数据拟合的方法，将收集的数据绘制在图表上，建立需求曲线和供给曲线，提供以下几种不同的方案参考：方案一：认为散点近似地落在两条直线上，建立直线模型，通过求出两直线的交点，寻求市场的供需平衡点；方案二：认为散点近似地落在两条抛物线上，建立抛物线模型；方案三：认为散点近似地落在两条指数曲线上，建立指数曲线模型.典题·热题·新题例1一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年以10%衰减.（1）求7年后，这种放射性元素质量ω的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1）.注：剩留量为原来的一半所

5、需的时间叫做半衰期.思路解析：首先根据经过1年、2年的放射性元素质量ω，归纳出t年后，这种放射性元素质量ω的表达式，然后再根据函数表达式，求这种放射性元素的半衰期.解：（1）最初的质量为500g经过1年，ω=500（1-10%）=500×0.91；4经过2年，ω=500×0.92；由此推知，t年后，ω=500×0.9t.（2）解方程500×0.9t=250，0.9t=0.5，lg0.9t=lg0.5，tlg0.9=lg0.5，∴t=≈6.6，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.拓展延伸注意此处空半格感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体

6、会函数在数学中的重要性，对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.例2某工厂今年一月、二月、三月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c（其中a、b、c是常数），已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.思路解析：先根据一月、二月、三月份的产量，求出二次函数和y=a·bx+c（a、b、c是常数），然后看哪一个函数求出的四月份产量与实际产

7、量1.37万件误差较小，从而可选哪个作为模拟函数.解：设二次函数为f1（x）=a1x2+b1x+c1.根据题意，得解得解得a1=-0.05，b1=0.35，c1=0.7.于是f1（x）=-0.05x2+0.35x+0.7，又由y=f2（x）=a·bx+c，得解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4.于是f2（x）=-0.8×0.5x+1.4，所以｜f1（4）-1.37｜=0.07，｜f2（4）-1.37｜=0.02，｜f1（4）-1.37｜＞｜f2（4）-1.37｜.因此，用f2（x）=abx+c作模拟函数较好.深化升华注意此处空半格正确地

8、将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键.转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类.例3有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品