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1、第七章傅里叶变换和色散关系对自然界的最深刻的研究是数学最富饶的源泉。----傅里叶学习要求与内容提要目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里叶级数展开法；掌握傅里叶变换和相关性质。重点：难点：傅里叶变换。傅里叶变换导出思路。21807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信
2、号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点7.1傅里叶级数3（1）波的叠加在普通物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角频率,φ是初相位.其他的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.1傅里叶级数非正弦周期函数:矩形波可以用不同频率正弦波叠加构成！45由上例可以推断：一个周期为T的函数f(t+T)=f(t)可以看作是许多不同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。将时间坐标t换为空间坐标x,同时将周期换为空间长度2l,我们同样
3、有一个周期为2l的函数f(x+2l)=f(x)可以看作是许多不同频率的正弦或余弦函数的叠加所构成。6[-T/2,T/2]上的积分等于0。①其中任意两个不同的函数之积在（2）.三角函数族及其正交性引入三角函数族上的积分不等于0。②两个相同的函数的乘积在[-T/2,T/2]7证:①任意两个不同的函数之积在[-T/2,T/2]上的积分等于0.以两个余弦函数的积为例②两个相同的函数的乘积在[-T/2,T/2]上的积分不等于0.以两个正弦函数的积为例8如果周期为2T的函数f(t)满足狄里希利定理的条件,则它可以展开
4、式为下列级数(在f(t)的连续点处)（3）周期函数的傅里叶展开①式①称为f(t)的傅里叶级数.式中a0,an,bn称为函数f(t)的傅里叶系数;问题:a0,an,bn等于什么?引入圆频率ω0=2π/T，重写①②9(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，且在收敛点有：在间断点有：狄里希利定理:若函数f(t)满足条件：注:第一类间断点如果f(t)在间断点t0处左右极限存在,则称点t0为f(t)的第一类间断点.下面我们利用三角函数族的正交性来求
5、解a0,an,bn，10对式②两边在[-T/2,T/2]内逐项积分,得②式乘cosnω0t并在[-T/2,T/2]内逐项积分并运用正交性,得由三角函数的正交性0由三角函数的正交性得0k=n由三角函数的正交性011类似地,用sinnω0t乘②式两边,再逐项积分可得归纳:12考虑到下列欧拉公式,我们把傅里级数表示成复数形式再次考察周期为[-T/2,T/2]的f(t)的傅里叶级数：2复数形式的傅里叶级数13注意到同理14傅里叶级数的复数形式:因此得1516周期函数的性质是f(t+T)=f(t),t每增大一个T，
6、函数值就重复一次，非周期函数没有这个性质，但可以认为它是周期T∞的周期函数。所以，我们也可以把非周期函数展开为所谓“傅里叶积分”。§7.2傅里叶变换考察复数形式的傅里叶级数:1傅里叶积分和傅里叶变换17“傅里叶级数”:另一方面：非周期函数的复数“傅里叶级数”改写为：设存在，我们形式定义非周期函数的1718令有把cn代入f(x)，则非周期函数表示为称f(t')的傅里叶变换称f(ω)的逆傅里叶变换像函数原函数注意到：～19傅里叶积分定理：若函数f(t)在区间(-，+)上满足条件:(1)在任意有限区间满足
7、狄里希利条件；(2)在区间(-，+)上绝对可积（即收敛），则f(t)可表为傅里叶积分，且在间断点处傅里叶积分值=，则f(t)的傅里叶变换对20用空间变量x代替时间变量t，则有在空间域的傅里叶变换对（按教材规定）时间间域傅里叶变换对（按教材规定）注意：基元函数定义差别2021例7.1求矩形脉冲的像函数。解:矩形脉冲函数的周期为[-T,T],如右图.其中h是实常数。7.17.2本讲作业2223在空间域的傅里叶变换对（按教材规定）时间间域傅里叶变换对（按教材规定）注意：基元函数定义差别23解:由傅里变换定义
8、式，我们有δ(t)的像函数例7.2求δ(t)的像函数.由δ(t)函数的像函数和傅里变换像函数定义，我们得出δ(t)函数的积分表达式24例7.3求解利用积分考虑到f(x)是偶函数（α>0）的像函数。25(1)导数定理2傅里叶变换的基本性质根据傅里叶积分定理，证明：推广：26例:证明根据傅里叶积分定理，证明：推广：27(2)积分定理由变上限积分定理：由导数定理利用导数定理证明：引入新函数另一种形式：证明：28(3)相似性定理空域中
