弹性应力应变关系教学课件ppt

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1、3.1广义胡克定律3.2各向异性线弹性材料3.3各向同性线弹性材料的弹性常数3.4体积改变定律和形状改变定律3.5线弹性体的应变能函数第三章弹性应力应变关系3.1广义胡克定律应力应变关系属于材料的性能，称为物理方程或者本构方程复杂应力状态的应力应变关系难以通过试验确定单向拉伸与纯剪应力应变关系可以通过试验确定εxεyσxσx或（1）单向应力状态的应力应变关系:泊松比，由试验确定。ττMnG:（2）纯剪应力状态的应力应变关系剪切弹性模量E与G之间的关系（3）双向应力状态的应力应变关系（4）平面应力状态的应力应变关系σyσxτxyτyx（5）三向应力状态的应力应变关系引入：

2、同理三向应力状态的应力应变关系称为体积应力。从正应力应变关系中可得到:由上式则有应力表达式:从而有体积应力与体积应变之间的关系K为材料常数，：为体积应变。另一方面由则式中称为Lame常数。将代入应力表达式有整理最终的应力应变关系是由上面的式子可以写出应力应变关系的张量表达：对于弹性体一点的应力取决于该点的应变大小，即应力与应变之间存在函数关系。3.2各向异性线弹性材料线弹性应力应变关系为线性关系：式中cmn(m,n=1,6)是取决于材料性质的常数，共36个。3.2各向异性线弹性材料弹性矩阵线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达应力应变关系使用张量形式表示有:式中称为弹性张量

3、,为四阶常张量,共有81个分量。根据应力、应变张量的对称性，关于指标i和j对称，关于指标k和l也对称，即故独立的弹性常数也是36个。可以证明关于ij与kl也是对称的，故一般各向异性弹性材料独立的弹性常数是21个。弹性张量矩阵线弹性材料的应力应变关系的矩阵表达弹性矩阵与弹性张量矩阵的关系：取11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6两个矩阵均为对称矩阵。各向异性线弹性材料的特殊情况：（1）具有一个弹性对称面的材料xzyo对称面w-wABxzyo对称面z-zAB当坐标系由x,y,z变为x,y,-z时，材料的弹性关系保持不变。应变分量xz,yz变为-x

4、z,-yz,应力分量τxz,τyz变为-τxz,-τyz。因弹性关系不变，这要求反号应变前的系数为零。（1）具有一个弹性对称面的材料xzyo对称面w-wABxzyo对称面z-zAB根据应力应变关系有：按上面的分析有：与原线弹性关系比较有：具有一个弹性对称面的材料的应力应变关系弹性常数共有13个。如正长石便具有这种类型的对称性。（2）具有三个弹性对称面的材料弹性常数共有9个。具有这种对称性的材料成为正交各向异性材料。（3）横观各向同性材料将坐标系绕z轴转45°，因剪应力关系不变有：yz各向同性平面弹性对称轴x弹性常数共有5个。具有此类性质的材料如冷轧板。3.3各向同性线

5、弹性材料的弹性常数物理意义：物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映：应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样。金属材料：各向同性弹性体，是最常见的工程材料。（1）各向同性弹性材料本构方程各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同；弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关。实际独立弹性常数为c1，c2。比较(3)(4)式有(1)(2)由各向同性要求,绕z坐标轴旋转时上式仍成立,则在(1)式中用应变表示应力有yzx将代入右式有：(3)(4)令结论：各向同性材料，独立弹性常数为2个。（2）各向同性线弹性材料的弹性常数式中称为Lame常数。实际独立

6、弹性常数为2个。E：为弹性模量G:为剪切弹性模量K：为材料常数，：为体积应变，所有的剪应力分量均为零；对应的剪应变分量也为零。因此，对于各向同性弹性体：应力主轴同时又是应变主轴，即：应力主方向和应变主方向是重合的。对于各向同性材料的主应力状态：3.4体积改变定律和形状改变定律(1)体积改变定律：式中式中：3.4体积改变定律和形状改变定律证明如下：3.5线弹性体的应变能函数(1)一维应变能函数oW3.5线弹性体的应变能函数w:单位体积的应变能对于线弹性材料应变能只取决于应变状态，这样有:，积分与路径无关。3.5线弹性体的应变能函数因故3.5线弹性体的应变能函数即所以是对称

7、的张量。单位体积的应变能函数：用应变表示的应变能函数单位体积应变能函数：用应力表示的应变能函数泊松比μ恒小于1，所以W恒大于零。单位体积的应变能总是正的。