《离散数学》第二章一阶逻辑讲稿

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1、2.1—阶逻辑基本概念一、本节主要内容基本概念——个体词、谓词、量词命题符号化二、教学内容个体词（个体）：所研宄对象中可以独立存在的具体或抽象的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念.表示主语的词（名词或代词）：芥格拉底，2,黑板，自然数，思想,定理•个体常项：具体的或特定的个体词，用a，b，c表示个体变项：抽象的或泛指的个体词，用x,y，z表示个体域：个体变项的取值范围有限个体域，如｛a，b，c｝，｛l，2｝无限个体域，如N，Z，R，...企总个体域：宇宙间一切事物组成基本概念谓词

2、：表示个体词的性质或相互之间关系的词谓词常项：表示具体性质或关系的谓词F:...是人，F⑻:a是人G：...是自然数，F（2）：2是自然数谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词F:...具有性质F，F（x）：x具有性质F元数：谓词屮所包含的个体词数一元谓同：表示事物的性质多元谓词（n元谓词，n>2）:表示个体词之间的关系如L（x，y）:x与y有关系L，L（x,y）：x比y高2厘米注意：多元谓词中，个体变项的顺序不能随意改动个体变项和谓词的联合体，F（x），L（x，y），也称力谓词n元谓词L（xl,x2，

3、...，xn）可看作一个函数，定义域为个体变项的个体域，值域为｛0，1｝n元谓词L（xl，x2,...，xn）的真值不确定，不是命题，如：L（x，y）如果L（x，y）表示“x小于y”，谓词部分已经是常项，但还不是命题.考虑L（2,3）和L（3,2）L（xl，x2，...，xn）是命题：只有当L是常项，xl，x2，...，xn是个体常项0元谓词：不含个体变项的谓词，如L（a，b）如L的意义明确，则0元谓词都是命题一阶逻辑屮命题符号化例1用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶

4、逻辑中符号化(1)墨西哥位于南美洲在命题逻辑中，设P:墨西哥位于南美洲符号化为P，这是真命题在一阶逻辑中，设a:墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例1(续)(2)是无理数仅当是有理数在命题逻辑中，设p:是无理数，q:是有理数.符号化为p^q,这是假命题在一阶逻辑中，设F(x):x是无理数，G(x):x是有理数符号化为(3)如果2〉3，则3<4在命题逻辑中，设p:2>3,q：3<4.符号化为p^q,这是真命题在一阶逻辑中，设F(x，y):x>y,G(x，y):x

5、->G(3,4)(4)如果张明比李民高，李民比赵亮高，则张明比赵亮高.在命题逻辑中，没P:张明比李民高，q:李民比赵亮高，r张明比赵亮高.符号化为：paqr在一阶逻辑屮，设F(x，y):x比y高a:张明，b:李民，c:赵亮符号化为：F(a,b)aF(b,c)^F(a,c)基本概念(续)量词：表示数量的词例如(1)所有的人都要死的；(2)有的人活一百岁以上；全称量词V:表示任意的，所有的，一切的等Vx表示对个体域屮所有的个体，VxF(x)表示个体域屮所有的个体都有性质F.VxF(x)，其中F(x):

6、x是要死的，个体域为人类集合存在量词3:表示存在着，有的，有一个，至少有一个等3x表示存在个体域巾的个体，3xF(x)表示存在着个体域中的个体具有有性质F3xG(x),其中G(x):x活一百岁以上，个体域为人类集合如果个体域D为全总个体域，则VxF(x),其中F(x):x是要死的，表示宇宙间的一切事物都要死的.3xG(x),其中G(x):x活一百岁以上，表示宇宙间的一切事物中存在活一百岁以上的.特性谓词：M(x):x是人符号化为：(1)Vx(M(x)^F(x))(2)3x(M(x)aG(x))考虑

7、：(1)Vx(M(x)aF(x))一阶逻辑中命题符号化(续)例2在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)人都爱美；(2)有人用左手写字分别取(a)D为人类集合，(b)D为全总个体域.解：(a)(1)设G(x):x爱美，符号化为VxG(x)(1)设G(x):x用左手写字，符号化为3xG(x)(b)设F(x):x为人，G(x)：同⑻中⑴Vx(F(xWG(x))(2)彐x(F(x)aG(x))这是两个基本公式，注意这两个基本公式的使用.一阶逻辑中命题符号化(续)例3在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)正数都大于

8、负数(2)有的无理数大于有的有理数解注意：题0中没给个体域，一律用全总个体域(1)令F(x):x为正数，G(y):y为负数，L(x，y):x〉yVx(F(x)^Vy(G(y)^L(x,y)))或VxVy(F(x)AG(y)—L(x，y))两者等值(2)令F(x):x是无理数,G(y):y是有理数，L(x,y)：x〉y3x(F(x)A3y(G(y)AL(x,y)))或3x3y(F(x)AG(y)AL(x,y))两者等值一阶逻辑屮命题符号化(续)儿点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别