数列求和的基本方法例题

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1、数列求和的基本方法归纳教师：王光明数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、[例1]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例2]设Sn＝1+

2、2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式）10∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴[例4]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差

3、数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②（设制错位）①－②得（错位相减）10∴19．（2014•濮阳二模）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求

4、得d和q，进而可得{an}、{bn}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn．解答：解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以an=1+（n﹣1）d=2n﹣1，bn=qn﹣1=2n﹣1．（Ⅱ）．，①，②②﹣①得，===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．21．（2014•天津模拟）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（

5、Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．菁优网版权所有专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程组，即可求出an与bn；（2）由an=3n，bn=3n﹣1，知cn=an•bn=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{cn10}的前n项和Tn．解答：解：（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．∴b

6、2=b1q=q，，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴an=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1．（7分）（2）∵an=3n，bn=3n﹣1，∴cn=an•bn=n•3n，∴数列{cn}的前n项和Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2Tn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴Tn=×3n+1﹣．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的

7、性质和错位相减法的合理运用．三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例5]求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）10∴[例6]求的值解：设………….①将①式右边反序得…………..②（反序）又因为①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别

8、求和，再将其合并即可.[例7]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得10Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝27．已知等比数列{an}满足a2=2