数学乙组竞赛试题答案

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1、桂林理工大学新生杯数学竞赛乙组试卷（2015年春季学期）二、（每小题10分，共20分）3.计算I=jj（-vy+l）dxdy,其屮D:4x2+y2<4.I）题号—•二三四五总分得分考核年级：2014级-、（每小题10分，共20分）^xydxdy+^dxcly1.求方程y"+4y'+4y=0的通解.解特征方程为r2+4厂+4=0,解得耳=r2=-2,4分故所求通解为y=（C,+C2x）e-2A'10分解：因为D:4x2+y2<4关于兀对称，函数兀y对y来说是奇函数,所以=0,3分D所以/=JI"〉'+'Mxdy=DDD=jjldxdy=SD8分D=2/r10分4计算p积分此供7其

2、屮D是由F+y2G所确定的圆域.4分解区域D在极坐标下可表示为0<2^,2.求+sin2xjcosxdx~2解•/x3cos兀是奇函数=>£疋cosxdx=0巧=『*［吨+刊］de==龙111210分7V7T+sin2xjcosxdx=£sin?兀cosxdx2I又vsin2xcos兀是偶函数7TH27sin2.rcosxdx=2psin2xcosxdx/rI10分2x2=2Fsin2xclsinx=ysin3%□

3、r>—xll>7M3启三、(每小题10分，共20分)5.证明极限不存在limO+xy)石.x->0y->0证明：・.・(1)limd+xy)7^zz^

4、lim(i+/)£=limb+attOx->0,y->0X2)卫X2=e°=1….3分x->0而limQ+与)药v=_无+limb_亍+，)?x->0x->0尸0lim(U产x->0可见，即沿着两条不同路径，得到两个不同的结果••・lim(1+A)?)A+y的极限不存在10分才一>0y->06.将函数/(x)=arctanx展开成x的慕级数.解arctanx=(〔"人?=£[1-x2+x4+(_1)"兀加+...]dx5分11+i=XH兀‘—…十(—1)"…，X6(—1,1)8分35In+1当“1时，级数收敛;当X=_1时，级数收敛•且当x=±l时，函数arctanx连续，所以—2

5、兀+]一2/7+1n=()n=01]arctanx=x——x3+—x5+(-l)/,+•••,xg[-1,1]10分352/z+1四、(每小题10分，共20分)(1A117.求过点上,0口满足关系式才+y=的曲线方程.12丿arcsinx•71-x2*arcsinx解p(x)=,e(x)=—-—,代入公式arcsinx^l-x1arcsin兀y=血(x)Rwdx+c]小也皿得原方程的通解为gLrcsin.rx/'l-xarcsinxdxdxdx"J7WarcsinX+Carcsinx将兀=丄」=0代入上式二>。=—丄2〜21X——故所求曲线方程为y=——〜arcsinx&求幕级数£

6、(n+l)2*的收敛域与和函数.刀=01()分解因为

7、如1

8、=鱼土驾T1,故题设级数的收敛半径R=l,易见当x=±l时，题设级数发散，所以

9、①I5+1)2题设级数的收敛域为(-1,1)4分8设s(x)=2>+l)W(hlvl)，则n=0000000£s(x)dx=[为(n+l)2xndx=》[(*+l)dx"J=工(n+l)xn+100n=0H=0n=0co8、kn=0丿在上式两端求导，得所求和函数]+Xs(x)=(lx1<1).(1Fn-0=兀10分••載□]p••條五、(每小题10分，共20分)9.求弘=%2+y2+z?在约束条件z=x2+b和x+y+込=4下的最大值和最小值.

10、解：设F^x,y,z,/^,A2)=x"+y2+z2+入(对+y?—z)+A2(x+y+z—4)2分解方程组：F：=2y++A2=0F；=2z_人+人=0F：=x2+y2-z=0F[=x+y+z-4=0①②③④⑤由①、②可得x=y，代入④、⑤可解得兀=1或x=-2或

11、解(1)V,=^(2x2]dx=-7r(32-a5)……3分V2=加2.2a2-『专(2)卩=匕+岭=兰兀(32—/)+加=2^74-加4=加4■…6分令Va=4加3(]—(7)=0,得区间(0,2)内唯一驻点。=1。易判断它是极大值点，且此时129v,+v2取得最人值，等于¥兀10分