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《立体几何中的向量方法-2016年高考理科数学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、专题47立体几何中的向量方法【重点知识梳理】1.直线的方向向量与平而的法向量的确定(1)直线的方向向量：/是空间一直线，A,8是直线/上任意两点，则称亦为直线/的方向向量，与翁平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设“，b是平面匕内两不共线向量，〃为平面。的法向量，贝U求法n*a=O9向量的方程组为firb=O.2.用向量证明空I'可屮的平行关系(1)设直线1［和?2的方向向量分别为和卩2，则厶〃仏(或人与<2重合)0比〃吃0刃=加2・(2)设直线/的方向向量为*,与平面G共面的两
2、个不共线向量申和卩2，贝I」/〃a或/UQO存在两个实数x,yf使v=xvi+yv2-(3)设直线/的方向向量为v,平而a的法向量为u,则l//a或/uaoy丄mh=0.(4)设平面Gt和0的法向量分别为M］,“2，则a〃型〃©o”1=加?.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线1和仏•的力向向量分別为V
3、和*2,则厶丄/?<=>"丄丄吃<=>M丄.吃=0.(2)设直线/的方向向量为v,平面a的法向量为m,则/丄gov〃“6，=加.(3)设平面6(和0的法向量分别为M］和“2，则a丄〃O坯丄丄叱0址丄・“2=0.
4、4.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线厶，<2的方向向量分别为加1，加2，则/］与“所成的角0满足COSe=」COS〈叫，叫〉I画.加211〃川.
5、叫■(2)设直线/的方向向量和平面a的法向量分别为加，//,贝IJ直线/与平面a所成角0满足sin^=］cos(w,n>
6、-
7、w
8、.
9、nr(3)求二面角的大小(i)如图①，4B,CD是二面角a-1-p的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=JAB.CD).(ii)如图②③，小，//2分别是二面角匕一/一0的两个半平面弘0的法向量，则二面角的大小&满足
10、cos0
11、=
12、
13、COS仙，〃2〉I，二面角的平面角大小是向量小与畀2的夹角(或其补角).1.点面距的求法—>如图，设肋为平面u的一条斜线段，〃为平面a的法向量，则B到平面a的距离〃=吟型【高频考点突破】考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面刃D丄平面ABCD,ABCD为正方形，是直角三角形，且刃=/D=2,E,F,G分别是线段丹，PD,CD的中点.求证：M〃平面EFG.【变式探究】如图，平面刃C丄平ifij'ABC,/XABC是以/C为斜边的等腰直角三角形，E,F,0分别为刊，PB,/C的中点，AC=16,PA=PC=
14、IO.设G是OC的中点，证明：FG〃平面BOE；考点二利用空间向量证明垂直问题【例2】如图，在三棱锥P-ABC屮，AB=AC,D为BC的屮点，P0丄平面MC,垂足。落在线段AD±.已知BC=8,P0=4,A0=3,0D=2.、0(1)证明：MP丄BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM=3.试证明平面MMC丄平面BMC.【变式探究】如图，四棱柱ABCD—4BCQ的底ifij"ABCD是正方形,0为底面屮心,/Q丄平面MCD,4B=AA、=©证明：M]C丄平面BBQD.考点三利用空间向量解决探索性问题【例3】在
15、四棱锥P-ABCD中，PD丄底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是AB.的中点.⑴求证：EF丄CD；(2)在平面刃D内是否存在一点G,使GF丄平面PCB.若存在，求岀点G坐标；若不存在，试说明理由.【变式探究】如图所示，四棱锥P-ABCD的底而是边长为1的正方形，刃丄CD,PA=,PD=dE为PD上一点,PE=2ED.-~>D(1)求证：丹丄平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得〃平面AEC?若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在,说明理由.考点四求异面直线所成的角【例4】如图，
16、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，刊丄底面ABCD,E是PC的中点.己知4B=2,4D=2&,PA=2.求:（l）APCZ）的面积.（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.【变式探究】如右图所示正方体ABCD-A1BrC'D1，已知点H在才B'CDf的对角线夕D上，"04=60°.求DH与CC所成的角的大小.考点五利用空间向量求直线与平面所成的角【例5】（2014•北京卷）如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MQ的中点.在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面/3F与棱PD,PC分别交于
17、点G,H.⑴求证：AB//FG；⑵若刃丄底面ABCDE,且PA=AE.求直线3C与平面MF所成角的大小，并求线段的长.【变式探究】（2014•福建卷）在平面四边形ABCD屮，AB=BD=CD=1,4B1BD,CDIBD,将厶沿折起，使得平^ABD丄平面BCD,如图.(1)求证：AB^CDx(2)若M为AD屮点，求直线AD与平面MB
