边界元法计算浅表面裂纹应力强度因子.doc

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1、边界元法计算浅表面裂纹应力强度因子程长征1，牛忠荣1，胡宗军1，叶建乔1，2(1合肥工业大学土木建筑工程学院，安徽合肥230009；2Leeds大学土木工程学院，Leeds，英国)近年来薄层构件在工程中得到了广泛的应用，如钢质管道的涂层、加固结构用的碳纤维增强布等[1,2]。薄层通过焊接、喷涂或粘贴等工艺附着到基体上，由于热膨胀系数的不同或加工缺陷，使得薄层与基体的界面联结处易萌生裂纹[3]，如图1所示。裂纹的应力强度因子是对裂纹尖端附近的应力场进行分析时引入的力学参量，它是裂纹发生失稳扩展与否的判据[4]。因而，浅表面裂纹应力强度因子的研究有利于判断薄层

2、是否与基体剥落，预测含薄层结构的寿命。图1浅表面裂纹基体Ⅱ浅表面裂纹薄层Ⅰ界面确定浅表面裂纹应力强度因子的数值方法主要有有限元法和边界元法。由于裂纹距表面较近，有限元法网格的协调将存在极大的困难[5]。边界元法具有单元数少精度高且易于调整单元等优点。边界元法通常沿裂纹面将构件分成两个子域，在各子域单独列边界积分方程后利用交界面上的协调条件联立求解[6]。但对于浅表面裂纹，剖分的两个子域至少有一个很薄，常规边界元法计算时会遭遇几乎奇异积分。随着裂纹距离表面程度的加剧，常规边界元法将因无法处理几乎奇异积分而失效。国内外许多研究者对几乎奇异积分问题做了详尽的探讨

3、，并研制出了一批优秀的克服几乎奇异积分的算法[7,8]。作者所在的课题组通过反复分部积分的办法获得了几乎奇异积分的解析算式[9]，本文将在此基础之上，利用边界元法来计算浅表面裂纹的应力强度因子。1基本理论1.1边界元法及几乎奇异积分的处理忽略体力项，弹性力学问题的位移边界积分方程为(1)式中为源点、为场点，为位移奇性系数；、分别为边界上的位移和面力分量；若以表示切变模量、为泊松比、为源点到场点的距离，则积分核、的表达式为(2)(3)对多域结构（以仅含域I和II两个子域为例），首先在各域单独列位移边界积分方程（1），然后利用交界面上位移相等、面力连续的条件,

4、(4)将两域内离散后的边界积分方程联合起来，可以求出边界和交界上所有点的位移和面力未知量。在对式（1）进行数值计算时，将离散的边界单元从整体坐标系转换到局部坐标系。令和分别表示场点和源点的坐标分量，表示边界外法线方向余弦分量，则式（2~3）中，，，(5)经观察发现边界离散后式（1）中的积分可以归结为(6)式中、为局部坐标的多项式形式。对于浅表面裂纹，剖分的两个子域至少有一个很薄，该域内源点和场点的距离，使得式（6）中的积分存在几乎强奇异性，使用常规的高斯积分计算将失效，这也是常规边界元法不能分析浅表面裂纹应力强度因子的原因。文[9]通过反复的分部积分运算，

5、推导了式（6）的解析表达式，化解了几乎奇异积分的数值计算难题。当薄层域边界元法中出现几乎奇异积分时，本文将采用这种解析算法取代常规高斯积分。1.2裂尖单元奇异性处理由于裂纹尖端位移场存在奇异性、面力场存在奇异性，为场点到裂尖的距离，边界元法解决断裂问题时裂纹尖端的单元也要作特殊处理。边界元法采用三节点二次元，在裂纹尖端布置一特殊单元，见图2，其中节点到裂尖的长度为单元长度的四分之一。图2裂尖处四分之一节点奇异元该单元上几何形状和位移插值的形函数与普通单元相同，分别为，，(7)面力插值形函数采用，，(8)这样就可以成功描述裂尖处的位移和面力奇异性，称该单元为

6、四分之一节点奇异元[10]。2单点位移计算应力强度因子应力强度因子是指裂尖位移场或应力场关于变量的渐近展开式的系数。张开型（I型）和滑移型（II型）裂纹的位移场渐近展开式分别为(9)(10)其中和的定义见图2，和分别表示纯I型和纯II型应力强度因子。若令为切变模量、为泊松比，对平面应力问题，式（9-10）中的、的表达式分别为(11)由边界元法获得边界节点的位移后，可选离裂尖较近处某边界点的位移，通过式（9-10）求出应力强度因子和，这就是所谓的单点位移计算应力强度因子。3数值算例以图3所示的平板内含浅表面裂纹为例。板长，厚，宽；裂纹长度为，裂纹距下表面的距

7、离为，距上表面的距离为。板在垂直裂纹方向受均布正应力，四周受均布切应力。基体Ⅱ图3平板内的浅表面裂纹表面Ⅰ令裂纹离上表面的距离逐渐减小来模拟浅表面裂纹。将平板沿裂纹表面剖分为表面和基体两个子域（域I和II），各子域边界分别划分200个节点，100个二次元，裂尖处采用四分之一奇异元，其它边界采用普通单元，不同时单元划分相同。当平板为均质材料时，弹性模量和泊松比取、；若平板为异质材料，分表面比基体硬和表面比基体软两种情况考虑：表面比基体硬时、，、；表面比基体软时、，、。首先取，则，此时不是浅表面裂纹而应近似看成无限大板内有中心裂纹的情形，将计算得到的应力强度因

8、子与参考文献的结果对照并列于表1。表1无限大板内有中心裂纹的应力强