金属单晶几何尺度效应的表面能模型.doc

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1、金属单晶几何尺度效应的表面能模型陈小亮魏悦广（中国科学院力学研究所，LNM，北京100080）E-mail:chenxl@lnm.imech.ac.cnTel.:010-82543963摘要：近期的一些微尺度单轴压缩实验和原子模拟结果都显示：在不存在应变梯度时，微纳米尺度材料的力学性质也可能表现出明显的尺度效应。本文首先建立了一个简单的关联表面能和微尺度金属单晶屈服强度的量纲分析模型，并和前人的单轴微压缩实验结果进行了对比，结果符合较好。然后发展了一个基于最小势能原理的表面能模型，分析了单晶铜纳米线在不受外力时自发收缩的平衡应变，模型计算结果与原子

2、模拟结果基本一致。关键词：表面能，尺度效应，变形和强度，金属单晶1引言微纳米尺度的材料有着很多优异的力学性质，因而在传感器、生物和医疗系统以及纳米复合材料等众多领域有着广泛的应用前景[1]。近期的一些微尺度金属单轴压缩实验[2,3]和原子模拟[4]结果都显示：在不存在应变梯度时，微纳米尺度材料的力学性质也可能表现出明显的尺度效应。而且在这些实验和模拟中，样品的初始内部微结构相同，仅样品的外部几何尺寸不同，因而这类样品的尺度效应在本文中被称为几何尺度效应。随着固体几何尺寸的减小，固体的比表面积和表面原子个数迅速增大，因此表面效应对微纳米尺度材料力学性

3、能的影响不可忽视。通过考虑表面应力效应，很多学者已经广泛研究了纳米结构材料弹性性质的尺度效应[5~7]，目前考虑表面效应对材料塑性尺度效应影响的研究还比较少。Zhang和Xu[8]研究了表面效应对纳米压痕中硬度尺度效应的影响，但得到的表观表面应力要比表面能高2-3个量级；近来Park等人[9]建立了表面Cauchy-Born模型来研究表面效应，但是Cauchy-Born方法要求假设晶体结构局部均匀变形。本文考虑固体的总能量中包含表面能项，首先建立了一个简单的关联表面能和微尺度金属单晶屈服强度的量纲分析模型，然后发展了一个基于最小势能原理的表面能模型

4、，并分析了单晶铜纳米线在不受外力时自发收缩的平衡应变。2基于量纲分析的简单表面能模型考虑表面效应和体效应都对固体的屈服应力有影响。为与实验相对比，以圆柱体形状的金属单晶为例，其一般情况下的屈服应力()可表示为(1)其中为相同材料的宏观屈服应力，表征了体效应对固体屈服应力的影响；为表面能，表征了表面效应对固体屈服应力的影响；和分别为圆柱体的直径和高度，这两个几何参数表征了表面效应和体效应对固体屈服应力影响的权重。通过量纲分析，并考虑宏观屈服应力为的条件，(1)式可改写为(2)其中无量纲数表示单位面积的表面能量与体内能量之比，表示形状比。对金属材料，一

5、般表面能的量级为1J/m2，宏观屈服应力的量级为100MPa,因此当大于10nm时，一般小于1。故在微尺度(2)式右端展开式中可取头两项作为线性近似，即.(3)下图1给出了(3)式和前人单晶圆柱微压缩实验结果[2,3]的对比。可以看出，由量纲分析得到的线性近似关系可以大致反映出单晶屈服应力的尺度效应。图1屈服应力的尺度效应。图中实方块是实验数据(a)单晶Ni实验数据来自参考文献[2]中的图5,且屈服应力取应变为1%时的应力值；(b)单晶Au实验数据来自参考文献[3]中的图6。图中实线是(3)式的拟合，其中Ni和Au的表面能数值均取自参考文献[10]

6、。3基于最小势能原理的表面能模型考虑固体的总势能()由三部分组成：体内的应变能()，总的表面能()和外力势能()。即(4)其中表示应变能密度，表示位移向量，和分别代表已知的体积力和面力。变形前后表面面积微元和的关系为(5)记和为变形前表面面积微元的两个正交单位向量，则(5)式可改写为,(6)其中(i,j=1,2,3)为应变张量。3.1有限元公式利用(6)式，(4)式中泛函的极值条件(δ=0)可以表示为,(7)其中应变向量和应力向量分别定义为(8)(7)式中和定义为(9)由式(7)-(9)可以得到平衡方程为(10)其中为系统的位移矩阵，为单元位移矩阵

7、到系统位移矩阵的转换矩阵，和分别为体单元和表面单元的刚度矩阵，、和分别为已知的体积力、面力和表面能诱导的等效节点力矩阵。(10)式中单元刚度矩阵和等效节点力矩阵定义如下(11)其中和分别为体单元和表面单元的应变-位移矩阵，为形函数矩阵。本文采用了20节点的六面体砖块等参元作为体单元。如果这个六面体的一个面是物理意义上的表面，那么这个面就被看成是一个表面单元。体单元和表面单元的应变-位移矩阵和的区别来源于：体单元内一点的位移是由体单元的20个节点的位移插值得到的((12)式)，而表面单元内一点的位移仅由表面单元的8个节点的位移插值得到((13)式)。

8、需要说明的是虽然式(12)和(13)中采用了不同的位移插值公式，但位移在整个系统内仍是连续的。(对体单元),(12)(对的