弹性力学平面问题中斜截面上应力正负规定研究.doc

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1、弹性力学平面问题中斜截面上应力正负规定研究胡景龙1李青宁2王建祥1（1.新疆农业大学水利与土木工程学院，乌鲁木齐830052；2.西安建筑科技大学，陕西西安710055）摘要本文介绍了弹性力学平面问题中斜截面上应力的正负规定的重要性及其对该规定的论证；并举例说明了该规定在实际问题中的应用。关键词弹性力学，斜截面，应力正负规定Stresspositive-negativeregularstudyontiltsectioninplanequestionoftheoryofelasticityHuJinglong，GuliXiadi，WangJianxing(C

2、ollegeofHydraulicandCivilEngineering，XinjiangAgriculturalUniversity,Urumqi,830052)AbstractSomeideastheimportanceofstresspositive-negativeregularityontiltsectioninplanequestionoftheoryofelasticityisintroducedandproved.Forexample,regularityisusedinactualquestion.Keywordstheoryofelas

3、ticity;tiltsection;stresspositive-negativeregularity1．问题的提出众所周知，在弹性力学中一点处的应力分量的正负是有严格规定的，它充分体现了弹性力学的科学性和严密性。但是对斜截面上的应力却没有正负号的规定，致使对斜截面上应力的计算，甚至证明都带来种种不便。这与弹性力学的科学性、严密性是极其不协调的。例如，在平面问题中一点的应力状态章节中，推导斜截面应力、与应力分量、、的关系式，假若对不事先确定方向，按照图1（b）所示方向标出进行推导，由投影的等量关系得到：，显然和书中公式相差一个负号，最终使得与应力分量、、

4、的关系式相差一个负号。而按照(a)图所示方向进行推导就可以得到正确的公式。这充分说明斜截面上的应力方向必然有某种确定关系，即应该有正负方向之分。因此笔者认为弹性力学中对斜截面上的应力也应该有明确的正负规定。2．斜截面应力正负号规定的解决方案在材料力学中，正应力σ规定以拉应力为正，剪应力τ规定以对单元体内任一点是顺时针转向时为正。在该规定下，任一斜截面上的应力正负方向是很容易确定的，为拉力，绕三角板是顺时针转向，它们均为正值。在弹性力学中，应力分量正负规定是：正面（该截面外法线方向与坐标轴正向一致，则称为正面，例如外法线方向和x轴正向一致的截面可以称为x坐标

5、正面）上的应力方向沿坐标轴正方向为正（简述为正面正向为正），负面（该截面外法线方向与坐标轴负向一致，则称为负面）上的应力方向沿坐标轴负方向为正（简述为负面负向为正）。在此规定下，对正应力来说和材料力学的规定相同，仍然是拉应力为正，压应力为负。对剪应力来说和材料力学的规定就不完全相同了。那么按照上述规定，对任一斜截面上的应力正负方向就很难确定，这是因为斜截面上的外法线方向与任何一条坐标轴方向都不平行，无法确定该面是正面还是负面，因此按规定也就无法判断该面上应力的正负方向。怎么解决这个问题？笔者经过反复思考，认为斜截面应力正负号的规定首先要遵循一个原则：就是必

6、须符合上述弹性力学对应力正负的规定。于是笔者对斜截面应力正负作了如下设想：把斜截面永远视为X坐标正面，则按正面正向为正的原则，就得到该截面正应力和剪应力的正方向。图1a中所示斜截面的、按该规定均为正值。现在对上述规定证明如下：见图2(a)，AB是斜截面，其上应力是、，斜截面外法线方向为n。对直角坐标系作一旋转变换，令坐标轴绕原点旋转一角度,使得旋转后的x’轴正向与斜截面AB外法线方向n相同，建立新坐标系，那么在该坐标系下AB截面外法线方向与轴正向相同，成为一个正面，而、方向正好与坐标轴、正向分别相同，那么由弹性力学的规定可知、为正。证毕。上述证明方法思路很

7、明确，就是应用坐标旋转变换，人为使斜截面成为正面，就可以应用弹性力学应力分量正负规定了。同样图2(ｂ)所示斜截面外法线方向与轴正向也相同，为正面，而、方向与、轴正向分别相同，因此它们均为正。在实际应用时并不需要用坐标旋转变换来确定其正负方向。由于斜截面上的正应力实质是：拉为正、压为负。所以正负方向已经确定，假想以正方向为轴，那么轴的正向就是的正向。注意该坐标系x’y’与原坐标系xy应该属于同一系统坐标系，见图3中(a)、(b)两个图中斜截面上的应力和的方向均为正向。1．斜截面应力正负规定的应用斜截面上的应力规定了正负方向，在本文前面讲到推导平面问题中一点的

8、应力分量、、与过该点的任一斜面上的正应力及剪应力关系式这一节时，在