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《12.2标准灰矩阵博弈的纯策略解.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、12.2标准灰矩阵博弈的纯策略解在上节中,我们构建了严格标准和标准灰矩阵博弈模型,本节主要研究标准灰矩阵博弈模型纯策略解的概念、存在条件及其性质等问题.一、标准灰矩阵博弈纯策略解的概念标准灰矩阵博弈是经典矩阵博弈的推广.因此,我们在定义标准灰矩阵纯策略解的概念时,考虑仍然采用经典矩阵博弈G的“理智行为”基本假设，即:在标准灰矩阵博弈的过程中,如果双方局中人都不想冒险,都不存在侥幸心理,而是考虑到对方必然会设法使自己所得最少这一点,就应该从各自可能出现的最不利的情形中选择一种最为有利的情形作为决策依据
2、.事实上,这也是博弈双方实际上都能接受的一种稳妥的方法.这样,我们就有了标准灰矩阵博弈纯策略解的概念,见定义12.2.1.定义12.2.1给定标准灰矩阵博弈,若存在纯策略,对应的局势使对均成立；则称局势为标准灰矩阵博弈在纯策略意义下的解.分别称为局中人1和2的灰色最优纯策略.局中人1的支付称为标准灰矩阵博弈的值,记为.由定义12.2.1可知,若标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解,则必存在纯策略,它所对应的第行第列处的灰矩阵博弈值满足,称正整数对为灰矩阵博弈的灰鞍点.由构成的博弈称为具有灰鞍点的灰矩阵博
3、弈.因此,灰矩阵博弈在纯策略意义下有解,其灰色损益值矩阵必有灰鞍点.反之,若灰色损益值矩阵有灰鞍点,则该灰矩阵博弈的解就是灰鞍点所对应的最优灰色纯策略所构成的灰局势.灰博弈的值就是灰损益值矩阵中灰鞍点所对应的第行第列处的元素,它既是灰矩阵的行中最小的灰数同时又是列中最大的灰数.给定标准灰矩阵博弈，设其灰色损益值矩阵中含有灰元素[aij,bij],满足[aij,bij既是i行中的最小灰数,同时又是j列中的最大灰数,则(i,j)即为的灰鞍点,[aij,bij]即为灰矩阵的博弈值.相应的为局中人1的灰色最
4、优纯策略,为局中人2的灰色最优纯策略,为灰矩阵博弈的解.例12.2.1某局中人1和2的标准灰博弈的损益值矩阵如(12.2.1)式所示；且在的第二行中,灰数[1,2]的取数是一致的.(12.2.1)由(12.2.1)式可得表12.2.1的灰矩阵博弈决策表表12.2.1灰矩阵博弈决策表[-1,1][2,3][3,4][-1,1][1,2][1,2][4,5][1,2]*[1,2]*[2,3][4,5]由可知该灰矩阵的博弈值,灰矩阵博弈的解为,其中,与分别是局中人1和2的灰色最优纯策略.二、标准灰矩阵博弈
5、纯策略解的充要条件及其性质由例12.2.1可知,标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解与灰损益值矩阵中的元素满足条件有直接关系,其实这一结果具有普遍性.定理12.2.2标准灰矩阵博弈中,为阶灰矩阵,则,.证明：对于每一个必有:,即:同样,对每一个必有:,即:因此,,即:从而有,,即:.定理12.2.2的直观意义为：局中人1的最少所得不大于局中人2的最多所失.以下讨论标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解的充要条件.定理12.2.3标准灰矩阵博弈,在纯策略意义下有解的充要条件是：.证明：先证充分性设在达到最大,在
6、达到最小,则,(12.2.2)由条件可得(12.2.3)由极小值定义可得故.再从极大值定义可知,对一切,均有.从而(12.2.4)由(12.2.3)式和(12.2.4)式可得,又根据极小值定义,对一切；均有故对一切均有:由定义12.2.8可知,此时灰矩阵博弈有解.再证必要性若灰矩阵博弈有解,由定义12.2.8可知,存在,使,对一切成立.因而(12.2.5)由于根据(12.2.5)式(12.2.6)又由极小值和极大值定义可知故(12.2.7)将(12.2.7)式两端对取max则,(12.2.8)由(1
7、2.2.6)和(12.2.7)式可得,.推论12.2.1若灰矩阵博弈在纯策略意义下的解为,则博弈值满足证明：由定义12.2.8可知,此时,(12.2.9)将(12.2.9)式两端分别取极大和极小,则再根据(12.2.2)式有,(12.2.10)由所设灰矩阵博弈有解,根据定理12.2.2可知,不等式(12.2.10)式两端应相等,故.定理12.2.3给出了标准灰矩阵博弈在纯策略意义下有解的充分必要条件.该定理可用灰鞍点的概念重新叙述为：标准灰矩阵博弈有解的充要条件是至少存在一个灰鞍点.但其灰鞍点可能不
8、只一个.定理12.2.4设分别是标准灰矩阵博弈的灰鞍点,则也是该灰矩阵博弈的灰鞍点,且在灰鞍点处的博弈值相等,即.证明：由于均为该博弈的灰鞍点,所以有,k1与k2分别表示其灰鞍点的编码；于是即从而有即是灰博弈的一个灰鞍点.同理可证也是一个灰鞍点.定理12.2.4说明具有灰鞍点的灰矩阵博弈具有两个性质：一是灰鞍点的可交换性,即若和是灰矩阵博弈的两个解,则和也是解；二是灰鞍点的无差别性,即若和是灰矩阵博弈的两个解,则灰博弈值.三、严格标准和标准灰矩阵博弈纯策略解的关系节1
