5.5二重积分的概念.doc

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1、5.5二重积分的概念5.5.1二重积分的定义一.引出二重积分的两个例题1.曲顶柱体的体积在初等数学中，我们已经学会计算一般立体的体积，特别是柱体体积的计算已经有了很成熟的公式，至于由任意曲面作为顶的立体的体积，就不会算了.设有一立体，它的底是平面上的闭区域，它的侧面是以的边界为准线、母线平行于轴的柱面，它的顶是曲面．这里，，且在上连续．这种立体叫曲顶柱体．（如图5-5）如何计算曲顶柱体的体积？分析：如果此柱体的顶为平面，即，则此曲顶柱体的体积为，这里是指的面积．对于一般的曲顶柱体，求其近似值，具体的方法是：(1)分割：用一组曲线网把区域分

2、成图5-5个小闭区域，它们的面积记作,，这样曲顶柱体被分成了个小曲顶柱体(2)近似：在每个小区域上任取一点：用代表第个小曲顶柱体的高，并把所有小柱体的体积用平顶柱体的体积表示：,;(3)求和：将个小平顶柱体的体积相加得曲顶柱体体积的近似值;把分得越来越细，求出的和越来越接近真实的体积值.(4)取极限：设个小闭区域的直径最大者是,即当时，的极限便是我们要求的体积，即.2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的区域,它在处的面密度为（）,现计算该平面薄片的质量。(1)分割：将分成个小区域，，，，既代表第个小区域又代表它的面积。(2)近似：第小

3、平面薄片的质量可近似为，(3)求和：整个平面薄片的质量的近似值为图5-6(3)取极限：记为的直径，,整个平面薄片的质量定义为综上，以上两种不同的问题和我们以前求曲边梯形的面积，虽然问题的表面有所差异，但解决的方法是相同的，都是求同一结构的总和的极限.其实还有许多实际问题的解决都可以归结于求这类极限.故我们有必要撇开这类极限问题的实际背景,给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分.二.二重积分的定义定义5.10如果是有界闭区域上的有界函数，把区域任意分成个小区域，第个小区域的面积记作（…），在每个小区域内任取一点，，作和，(1)设，若极

4、限存在，则称在区域上可积，而把极限值称为函数在闭区域上的二重积分，记作，即.其中：叫做被积函数，叫作面积元素，和称为积分变量，叫作积分区域，叫作被积表达式．由前面的引例可以知道，曲顶柱体的体积就是曲面方程在区域上的二重积分。5.5.2关于定义的两点说明说明1：根据定义，积分和(6.1)的极限存在时，称此极限为在上的二重积分，此时称在上是可积的。若函数在有界闭区域上连续，则在上二重积分存在．图5-7若函数在有界闭区域上有界且分片连续，则在上可积说明2：由以上定义可知，如果在上可积，则积分和(1)的极限一定存在，且与的分法无关。因此在直角坐标

5、系中，我们可以用一些平行于坐标轴的网状直线分割区域（如图5-7），除了少数边缘上的小区域外，其余的小区域都是矩形，设它的边长是和，则，因此，面积元素有时也用表示.于是，在直角坐标系下，二重积分也可以记作，其中叫做直角坐标系中的面积元素．5.5.3二重积分的几何意义通过前面的引例可知二重积分有如下几何解释：如果，被积函数可解释为曲顶柱体顶上的点的竖坐标，此时二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积.如果，柱体在面的下方，二重积分就等于柱体体积的负值.如果在的某些部分区域上时正的，而在其余部分区域上是负的，那么二重积分就等于面上方的柱体体积减去面

6、下方的柱体体积所得之差.5.6二重积分的计算5.6.1二重积分的性质由二重积分的定义可知，二重积分从本质上和一元函数的定积分是一样，所以二重积分具有与一元函数的定积分相应的性质.下面论及的函数均假定在上可积.性质1常数因子可以提到积分号外面，即.(是常数）.证性质2函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和.即证性质3（区域可加性）如果积分区域被一曲线分成、两个区域，则有.证其中：组成，组成。性质4如果在区域上恒有，则有，其中是区域的面积.证因为，所以，有性质5如果在区域上总有，则有.证又因为，所以，有根据极限的局部保号性则有根据以上的性

7、质，易得下面两个推论成立，推论1如果在区域上总有，则有.推论2对于任意的函数在任意可积区域上都有以上推论的证明留给读者。性质6设分别是函数在上的最大值与最小值，是的面积，则有证因为分别是函数在上的最大值与最小值所以，故，有根据极限的保不等式性则有所以有：即得证.性质7（二重积分中值定理）如果函数在有界闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点使得.证函数在有界闭区域上连续，则根据有界闭区域上连续函数的性质，有在上一定存在最大值和最小值，分别记为：。根据性质6的结论，有再根据有界闭区域上连续函数的界值性定理，在上至少存在一点使得即是即得证。

8、二重积分中值定理的几何意义：在区域上以曲面为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。5.6.2直角坐标系下的二重积分的计算二重积分的计算，可以归结为求两次定积分。一