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1、楚雄师范学院2013年数学建模培训第一次预赛论文@分油最优化模型系（院）数学系专业信息与计算科学2013年5月140分油最优化模型【摘要】本文主要是针对分油问题建立动态规划模型，从特殊的分油问题利用图解法求出决策方案，最后用剩余类知识将其推广到一般的模型。【关键字】线性规划图表显像法作图法递归作图一、问题重述有一个人用装10斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买5斤，但是没有秤，只有二只空瓶，一个能装7斤油，另一个能装3斤油。试建立模型分析应如何用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油。二、
2、问题分析这是韩信分油法，首先将上述的问题表述为数学语言：现有三个无刻度的容器A、B、C,容量分别为10、7、3斤。容器A中装满10斤油，B、C均空，如何利用三个容器将10斤油二等分？一般地，我们经过一番逻辑思索，逐项列举的阁解法，可以得出其结果。但是当容器A、B、C容量很大吋，这种逻辑方法就显得非常吃力。因此对于这个分油问题，我们将其进行推广，记三个容器A、B、C的容量分别为a、b、c斤，；现容器A中装满a升油，B、C均空。如何利用三个容器将a升油二等分?对于这个问题，我应用数学剩余类知识构造出数学模型，提出一种规
3、格化的方法进行求解。三、问题假设1、假设在每次倒油时都没有油遗失；2、假设三个容器是干净没有污秽的；2、假设A、B、C三个容器没有破损；3、假设在进行上述活动时没有意外发生。符号说明-＞：表示容器**向容器**倒入油%,：B中的油量y,：C中的油量uk:第A次倒油时，B容器内的油改变量V,：第次倒油时，C容器内的油改变量D：允许决策集合五、模型的建立与求解1、基本问题解决基于问题，我们通过逻辑推理，用最基本方法：将一容器内的油向另外的容器中倾倒的方法，得出下面两种分油方法（方法1和方法2），并运用动态规划模型的思想
4、列出表格，最终得出结果。方法1各容器油量的变化过程如下操作顺序A（斤）B（斤）C（斤）A1000A-B370B->C343C-*A640B-C613C->A910B-C901A-B271B-*C253方法2各容器油量的变化过程如下操作顺序A（斤）B（斤）C（斤）A1000A->C700C->B730A-C433C->B460A->C163C-B172B->A802C-B820A->C5232.模型构成分油问题可看作一个多步决策问题，记第）U到油时，B中的油量为xk，C中的油量为人，将二维向量么=（及，>7）定义为状
5、态，我们用序数组（x，y）的变化来表示整个倒油过程，集合S={（x,j）
6、07、y=0,0<%<7,=3,08、
9、w
10、<7,
11、v
12、<3}(3)状态变化规律是Sk+=Sk+dk(4)(4)式称为状态
13、转移律，则制定分油方案归结为如下的多步决策问题：求决策人e£>,使状态久eS按照状态转移律(4),由初始状态~=(0,0)经有限步n到状态么(5,0)。3.模型求解我们可以通过编写程序，利用计算机进行求解，也可以用图解法来处理这个问题，如图(1)所示，所有的操作应该在举行OABC的界面上进行,决策变量久沿方格线左右平移7格表示由B向A倒空油或者A向B倒满油；么沿方格上下平移3格，表示由A向C倒空油或者C向A倒满油；么沿方格线左上方135"移过k行，表示8向(：倒k斤油；<沿方格右下方450移过k行，表示C向B倒k斤
14、油；寻求决策方案的过程即是在上述规定下，将坐标点从(0,0)移至(0,5)的过程。根据图(1)这个模型，我们还可以很快的找到问题的另外一组解，如图(2)。图(1),分油问题方案1图（2），分油问题方案24.结果分析将图1,图2画在同一坐标轴上，如图3（虚线为图1方案，实线为图2方案），可看到X轴上坐标1,2,3,4,5,6,7都曾被箭头所指，从而可知，利用这三个容器可分出1，2,3,4,5,6,7,斤油。这里并不要求A的容量一定是10斤。CB3-X歉、XX、、‘2XXX、、、、X、、1'、、、A°1234567图
15、（3），分油结果4.模型评价与推广对于这个分油问题，我们可拓展思路，提出疑问，即3个容器A，B.C的容量分别为cz，/?，c•斤，a>b>c；现容器A中装满u斤油，B，C为空，如何利用容器将斤油二等分？当c=l时，自然可以将油分出1至b斤；当时我们可以利用上述的阁解法，对问题进行求解，也可以将油分出1至b斤。参考文献【1】数学建模教育与W际数学建模竞赛《工科
