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1、柯西不等式教学设计教学目标：1、知识目标：(1)认识二维柯西不等式的两种形式：①代数形式；⑦向量形式。(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法：①代数方法；②向量方法。(3)了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。2、能力目标：(1)学会运用柯西不等式解决一些简单叼题。(2)学会运用柯西不等式证明不等式。(3)培养学生知识迁移、自主探究能力。3、情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。二、教学重点与难点：1、教学重点：(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明：①代数形式；②向量形式。(2)探究一般的柯西不等式形式。
2、2、教学难点：(1)柯丙不等式的证明思路。(2)运川柯西不等式解决I'm］题。三、教学方法：探宄法、讲述法。四、教学过程及内容：1、单刀直入，通过基本不等式6/2+以仝2肋引出平方和与乘积的关系，直接引入主题(a2+b2)(c2+d2)(a，b，c，d为实数):【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式6Z2+f》26Z/7,它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式一一柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。下面我们先来看一下这个式子(a2-hb2)(c2+d2)(a，b，c,d为实数)【生】：全神贯注地看黑板。【师】:在黑板展示:(a2+b2)(
3、e2-hd2)=a2e2+b2d2+a2d2+b2c2由于it?2++a2d2+b2c2=(ac+bd)2-(ad-be)2因此(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2-(ad-be)2所以(tz2+62)(c2+J2)>(ac+bd)2当且仅当6Zt/—=0时，等号成立。【师】：这就是柯西不等式屮最简单的形式，即它的二维形式。2、讲解二维柯西不等式定理，并给山两个相关推论：二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2+b2)(c2+t/2)>(tzc+bd)2当且仅当676/—/?C=0时，等号成立。推论一：yja2+b2•lc2+d2>
4、“c+M
5、推论二：y
6、ja2-hb2•7c2+J2>
7、^zc
8、+
9、M
10、3、练习巩固新知识：例一：己知a，b为实数,证明:(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯两不等式，(a4-hb4)(a2+b2)=[(a2)2+(b2)2](a2+b2)>(a2-a+b2-b)2=(a3+b3)2例二：求函数y=+的最大值。【生】：动笔演算。【分析】：此题首先想到利用倒数求解，此方法可行，但是过程相对繁琐。【讲解】：函数的定义域为[5,6]，观察式子形式，可以用推论二。即y—3y/x~5+4a/6—xyj(32+4~)
11、(x—5)+(6—x)
12、=5。当且仅当4^/^^=3^/
13、^^,即时，函数有最大依5。254、讲解柯丙不等式的向量形式：在平面直角坐标系中，沒=<三夕〉e[0,；T]，贝
14、J■•■»■嶙■»al/}=a\ficQsd=ac+bdXIa
15、=yla2+/?2,
16、万1=y/c2+d2,■嶙■■»■»■»■»■»W
17、6£^
18、=
19、a
20、
21、/?
22、
23、cos^
24、<
25、a
26、
27、/?
28、B
29、J
30、ac+bd
31、<」a2+b2•y]c2+d2当且仅当共线时，等号成立，即6Z6/=/?C柯西不等式的向量形式：设泛，及是两个向则LI，当且仅当0是零向量，或存在实数A，使得泛肩时，等号成立。又称之为Cauchy-Schwarz不等式。5、通过柯两不等式的向量形式，将二维形
32、式推广到三维，得到三维形式的柯丙不等式:三维形式的柯西不等式：(^,24-a；+a~)(/?,2+b；+Z?32)>(afy+a2b2+a3b3)2当且仅当4=0(/=1，2,3)，或存在口使得•二1，2,3)时，等号成立。6、三维柯西不等式巩固练习:例三：设为正数，求证：(a+x,+x3)(-!-+-!-+-^)29“"■'x,x2%3【生】：动笔演算。【讲解】：利用柯西不等式,7、探宂一般形式的柯西不等式：【师】：同学们类比一下二维和三维的柯西不等式，猜想一下一般形式的柯西不等式会是怎么样呢？【生】：踊跃回答：(“丨2+4+••,+^)(A2+622+“.+W)2(6z,Z?,
33、+“為+•••+«大)2【师】：很好！同学们都很聪明，那么怎么证明这个一般形式的柯西不等式呢？它又是在什么样的条件下才能使得等号成立呢？这个问题留给同学们课后思考。(提示：用向量证明。)下面我们先来看一个例题：例四：设七，^^，…，e/?+，求证:-^l+^+...+^l+5l^Xi+X2+...+Xmx2X3x„X,【讲解】：在不等式左端乘以因式由柯西不等式，得(t+x3).(义2+工3和"++义1k2v/+•••+'卜1、vn/'=•€+夺如••今•仄7^=(
