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1、-实验六常微分方程的Matlab解法一、实验目的1．了解常微分方程的解析解。2．了解常微分方程的数值解。3．学习掌握MATLAB软件有关的命令。二、实验内容一根长的无弹性细线，一段固定，另一端悬挂一个质量为的小球，在重力的作用下小球处于垂直的平衡位置。若使小球偏离平衡位置一个角度，让它自由，它就会沿圆弧摆动。在不考虑空气阻力的情况下，小球会做一定周期的简谐运动。利用牛顿第二定律得到如下的微分方程问该微分方程是线性的还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？三、实验准备MATLAB中主要用dsolve求符
2、号解析解，ode45,ode23,ode15s求数值解。s=dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,’初始条件1’，’初始条件2’…,’自变量’)用字符串方程表示，自变量缺省值为t。导数用D表示，2阶导数用D2表示，以此类推。S返回解析解。在方程组情形，s为一个符号结构。[tout,yout]=ode45(‘yprime’,[t0,tf],y0)采用变步长四阶Runge-Kutta法和五阶Runge-Kutta-Felhberg法求数值解，yprime是用以表示f(t,y)的M文件名，t0表示自变量的初始值，tf表示自变量的
3、终值，y0表示初始向量值。输出向量tout表示节点(t0,t1,…,tn)T,输出矩阵yout表示数值解，每一列对应y的一个分量。若无输出参数，则自动作出图形。ode45是最常用的求解微分方程数值解的命令，对于刚性方程组不宜采用。ode23与ode45类似，只是精度低一些。ode12s用来求解刚性方程组，是用格式同ode45。可以用helpdsolve,helpode45查阅有关这些命令的详细信息.四、实验方法与步骤练习1求下列微分方程的解析解（1）（2）（3）方程（1）求解的MATLAB代码为：clear;s=dsolve(
4、'Dy=a*y+b')结果为.---s=-b/a+exp(a*t)*C1方程（2）求解的MATLAB代码为：clear;s=dsolve('D2y=sin(2*x)-y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')simplify(s)%以最简形式显示s结果为s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x)ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x)方程（3）求解的MATLAB代码为：cle
5、ar;s=dsolve('Df=f+g','Dg=g-f','f(0)=1','g(0)=1')simplify(s.f)%s是一个结构simplify(s.g)结果为ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t)ans=-exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)练习２求解微分方程先求解析解，再求数值解，并进行比较。由clear;s=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')simplify(s)可得解析解为。下面再求其数值解，先编写M文件fun8.m%M函数fun8.mfu
6、nctionf=fun8(t,y)f=-y+t+1;再用命令clear;close;t=0:0.1:1;y=t+exp(-t);plot(t,y);%化解析解的图形holdon;%保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形和并在一起[t,y]=ode45('fun8',[0,1],1);plot(t,y,'ro');%画数值解图形，用红色小圈画xlabel('t'),ylabel('y')结果见图6.7.1图6.7.1解析解与数值解.---由图7.1可见，解析解和数值解吻合得很好。下面我们讨论实验引例中的单摆问题.练习3求方
7、程的数值解.不妨取.则上面方程可化为先看看有没有解析解.运行MATLAB代码clear;s=dsolve('D2y=9.8*sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t')simplify(s)知原方程没有解析解.下面求数值解.令可将原方程化为如下方程组建立M文件fun9.m如下%M文件fun9.mfunctionf=fun9(t,y)f=[y(2),9.8*sin(y(1))]';%f向量必须为一列向量运行MATLAB代码clear;close;[t,y]=ode45('fun9',[0,10],[15,0]
8、);plot(t,y(:,1));%画随时间变化图,y(:2)则表示的值xlabel('t'),ylabel('y1')结果见图6.7.2图6.7.2数值解由图6.7.2可见，随时间周期变化。.---练习4(刚性方程组求解)求下面刚性微分方程的解使用dsolve可知解析解为下
