高考数学难点突破专题辅导十三_1

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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2009年高考数学难点突破专题辅导十三难点13数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点,本点的动态函数观点解决有关问题,为其提供行之有效的方法.●难点磁场(★★★★★)设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并

2、且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列{an}的前3项.(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)(3)令bn=(n∈N*),求(b1+b2+b3+…+bn-n).●案例探究[例1]已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}的前n项和为Sn,对一切n∈N*,都有=an+1成立,求.命题意图:本题主要考查等差、等

3、比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限,以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托:本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显,而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和,实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系,借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.错解分析:本题两问环环相扣,(1)问是基础,但解方程求基本量a1、b1、d、q,计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法:本题(1)问运用函数思想转化为方程问题,思路较为自然,(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn},运用和与通项的关系求出dn,丝丝入扣

4、.解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1(2)令=dn,则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),∴dn=an+1-an=2,∴=2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn=[1-(-2)n].∴[例2]设An为数列{an}的前n项和,An=(an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(

5、1)求数列{an}的通项公式;(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,证明:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项,Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和,Tn=Br-Dn,求.命题意图:本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系;集合的相关概念,数列极限,以及逻辑推理能力.知识依托:利用项与和的关系求an是本题的先决;(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处,须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析:待证通项dn=32n

6、+1与an的共同点易被忽视而寸步难行;注意不到r与n的关系,使Tn中既含有n,又含有r,会使所求的极限模糊不清.技巧与方法:(1)问中项与和的关系为常规方法,(2)问中把3拆解为4-1,再利用二项式定理,寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出n与r的关系,正确表示Br,问题便可迎刃而解.解:(1)由An=(an-1),可知An+1=(an+1-1),∴an+1-an=(an+1-an),即=3,而a1=A1=(a1-1),得a1=3,所以数列是以3为首项,公比为3的等比数列,数列{an}的通项公式an=3n.(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n

7、=3·[42n+C·42n-1(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3,∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4-1)2n=42n+C·42n-1·(-1)+…+C·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1),∴32n{bn},而数列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3,可知r=,∴Br=,●锦囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性.2

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