催化数形之结合.doc

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1、联想为媒-----催化数形之结合312353浙江省上虞市春晖中学王启东数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂——联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。本文就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略。一、联想图形的交点例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（）A.1B.2C.3D.4分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行

2、数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。的对称轴为即又从而作出的图象，可知方程有3个解。例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（）分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。故选（C）二、联想绝对值的几何意义例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的

3、最短距离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得：三、联想一次函数例4、已知，求证：分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数而又又（2）令同理可得从而即四、联想二次函数例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设。又为偶函数，由图可知五、联想反函数的性质例6、方程的实根分别为，则=分析：本题不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解令互为反函数，其图象关于对称，设即六、联想函数的单调性

4、例7、已知实数（为自然对数的底），证明：分析：本题直接证较难，，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证考虑函数在上的单调性即在上单调递减，七、联想函数奇偶性例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，则奇函数可得：，则又由对称性知：同理：0八、联想斜率公式例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解

5、麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。令，则由已知有得到这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率由此可以看出：即的取值范围是。例10、计算：分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为则九、联想两点间的距离公式例11、设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，构造

6、如图的，其中则在中，有十、联想点到直线的距离公式例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而例13、方程表示的曲线是分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：即动点到定点的距离与到定直线的距离相等方程表示的曲线是抛物线十一、联想直线的截距例14、已知，求的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线

7、的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即注：本题也可用三角换元。例15、求函数的最值。分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。令，则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又十二、联想定比分点坐标公式例16、已知是定义在上的单调函数，实数，，，若，则（）（05年辽宁高考）A.B.C.D.分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助

8、数，则很易求。不妨设，易知为有向线段的