初二讲义：勾股定理

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1、&初二数学讲义勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法　用拼图的方法验证勾股定理的思

2、路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，，化简可证．（方法一）（方法二）（方法三）方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　大正方形面积为所以方法三：，，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三

3、角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数————&②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表示组勾股数：　（为正整数）；　　（为正整数）（，为正整数）例题解析题型一：直接考查勾股定理例１.在中，．　⑴已知，．求的长⑵已知，，求的长分析：直接应用勾股定理考点一、已知两边求第三边例．已知，如图在

4、ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．BCA30°练习一1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．3．在数轴上作出表示的点．4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在中，，，，于，＝　　　　⑵已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形

5、的面积为　　　　⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为　　　　　分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解————&例３.如图中，，，，，求的长例4.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积考点二、利用列方程求线段的长例．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km

6、处？ADEBC练习二如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了　　　　　————&题型四：与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm题型五：勾股定理的实际应用用勾股定理求两点之间的距离问题例、如图所示，在

7、一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。练习.如图8，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？图8————&勾股定理提高训练（一）1、在

8、Rt△ABC中,若直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．2、已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm，直角边的长为3cm，则另一条直角边的长为().A