现代数值计算方法公式总结

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1、广(O2!U-X1)(X-X2)yo+yi+2现代数值计算方法公式一、插值法1.拉格朗曰(Lagrange)插值法a)两点一次:X—%!X—Xqyo+-——yix0-x1-XO(%-%0)(%-%!)(xo<^<%!)b)三点二次:(X0-%!)(%0-X2)(%!-%o)(^l-^2)(^2-XQXx2-尺2(0=,0)-=^-^(X-X0)(X-%i)(X-X2)(%0<^<^2)2.牛顿(Newton)插值a)n次牛顿法多项式：NnM=/Oo)+-％0)+…+,bWl,…Xn](X-X0)…(X-Xn_!)产+1)(()=/(x)-Nn(x)=(n+i)!

2、叫+lO)(xo<^xlfx2fx3]f[xlfx2,x3fx4]f[xQfxlfx2fx3>x4]/Ol)—/Oo)Xi-XQf[x0fxlfx2]-/[XoA]x2-x0b)向前差分：Nn(x0+th)=y0+tAy0+-+ta-i)a-2)(t-n+i)Anyo尺n（Ao+亡"）=t{t—1)(亡一2)

3、"•(t—71)(n+1)!"n+l，(n+l)⑺(X0<$<%n)XkVkXqyoXlyiX2J2^3ysx4J4△yo△yi△y2△y3△2yt-A3yfA4ytA2y0△2yiA2y2△3yo△3yi△4y。=Ji+i-Vi△27f=Ay/+i-下减上+1)...(t+Zl—1)n!vnync)向后差分：Kxn+th)=yn+tVyn+…+t(t+l)(t+2)…(t+n)z,1xz/?n(xn+th)=(n+T)!/in+1,(n+1)(O(x0<^

4、2y3▽2y2▽3y4▽3y3▽吟4无0Jo▽力=yi-Vi-iv2y.=Vy.-▽yf_1上减下1.三次埃米尔特（Hermite）插值X义0xiyJoyoy.mQmi=a0(x)y0+ai(x)yi+#0(x)m0+只3（尤）,、X-X0x-XiQa0(x)=(l+2—^)(—-^-)2x0XQ~xl•X0、2XlXXiX•)(Xq~X1-X0✓vy✓v✓VJz、X-Xi9/?0(x)=(x-x0)(-_Z-)x0~X1/?fA_fwX-X0a2•^U八1,、X-XnZ?lO)=O-Xi)(-_—)X1~~x0f⑷ff):——(文—^o)2(x-xl)2(xo

5、<^<%1)二、拟合曲线（最小二乘）(p(x)=aO+alx+a2x2nnS(a0,al,a2)=^[(p(xf)-yj2=^[(aO+alxf+a2xz2)-yj2i=l1=1ras_daOdSdaldS_^da2=数值积分1.牛顿-柯特思(Newton-Cotes)公式梯形求积公式(2节点)(/?—a)(/?—a)3刺^厂⑻复化梯形求积公式hn-iR[Tn]k=lb—a12/fe)+/W]=Tnr^h2=o(/i2)辛普生求积公式(3节点)Ka)+4/+fW(h-a)5f.刺-严仞复化辛普生求积公式/l1n"1I-.[，⑷+4^/(xk+i)+2Y，⑹+m]

6、k=02k=lR[sn]=—丽々⑷⑻=0(h4)2.高斯(Gauss)公式高斯-勒让德求积公式1.先用勒让德公式求解Xi1dn咖=F^^[(，2-l)n]2.利用“高斯积分公式具有2n+1次代数精度”将Xi带入求Ai3.将xi、Ai带入公式求取积分、并计算误差。Rn[f]普通积分化标准形式:/(%)«⑹1=022n+3[(n+l)!]4-i(2n+3)[(2n+2)!]3,(2n+2)(()bI=If{x}dxa积分区间[a，b]变换bfMdx=b-^f1+3.代数精度若求积公式对f(x)=1，x，x2,…xm时精确成立，而对f(x)=xm+1时不成立，则称此求

7、积公式具有m次代数精确度解线性代数方程组的直接方法三角形分解法求解=先将A分解为71=/^，则原式变为(/x=y，那么问题就变为了求解(Ly=b(Ux=y五、解线性代数方程的迭代法1.范数向量范数定义：设xERn(orCn)其中R为实数域、C为复数域，若某实值函数N(x)三

8、

9、x

10、

11、满足条件1)非负性

12、

13、x

14、

15、>0,

16、

17、x

18、

19、=0当且仅当x=0成立2)其次行ax=a

20、

21、x

22、

23、3)三角不等式

24、

25、x+y

26、

27、s

28、

29、x

30、

31、+

32、

33、y

34、

35、称N(x)三

36、

37、x

38、

39、为/TOCn)域上的一个向量范数常见范数：IWIn11x11!=i=lnIlxll2=[》%zl2]"2i=

40、l矩阵范数定义：设/le