高三数学导数专题例题知识点总结

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1、导数专题一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值基本方法：一般通法：利用导函数研究法特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧【例题1】已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，，所以函数在和上单调递减．当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，时，函数在和上单调递减．时，函数在和上单调递减，在上单调递增．第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨

2、论的意识、能力和技巧【例题2】已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值.资料解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，………①由，得，则；而图象关于轴对称，所以－，所以，代入①得.于是.由得或，故的单调递增区间是，；由得，故的单调递减区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.当变化时，、的变化情况如下表：f'(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增由此可得：当时，在内有极大值，无极小值；当时，在内无极值；当时，在内有极小值，无极大值；当时，在内无极值.综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.点评：本题

3、是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.【例题3】已知函数，a＞0，(I)讨论的单调性;(II)设a=3，求在区间[1，]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数.解：（Ⅰ）由于,令得①当，即时，恒成立，∴在上都是增函数.资料①当，即时，由得或∴或或又由得，∴综上,当在上都是增函数；当在及上都是增函数，在是减函数.（2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上是增函数.又∴函数在区间[1，]上的值域为.点评：（1）第一问在前

4、面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题.（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域→→单调区间、极值、最值→→不等关系式→→参数取值范围基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即……①又，由已知得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为（II）因为

5、令资料当函数有极值时，方程有实数解.则，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；点评：（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2）本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.【例题5】设，函数．（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．解：（Ⅰ）．因为是函数的极值点，所以，即，因此．经验证，当时，是函数的极值点．（Ⅱ）由题设，．当在区间上的最大值为时，，即．故得

6、反之，当时，对任意，，而，故在区间上的最大值为．资料综上，的取值范围为．点评：（1）本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.（2）本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.（三）导数的几何意义【例题6】设函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程可化为，当时，；又，于是，解得，故（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；令，得，从

7、而得切线与直线的交点坐标为；所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6.二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围基本方法：通性通法：函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理第一组二次函数（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3