浅谈分类讨论法在初中数学解题中的应用

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1、浅谈分类讨论法在初中数学解题中的应用【摘要】分类讨论法是初中数学解题中的重要方法之一，也是一种重要的数学思想，近年来中考试卷很多压轴题都涉及分类讨论，利用它来加大试卷的区分度。因此分类讨论的数学思想在学习中占有非常重要的地位，下面谈谈此方法在初中数学解题中的简单应用。【关键词】分类讨论，数学思想，初中数学分类讨论思想是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，分类思想已渗透到中学数学的各个方面，在研究和解决数学问题时，如果问题所给对象不能进行统一研究，就需要根据数学对象的属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类，然后对每一类进行研究，得出每

2、一类的结果，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，这种解决问题的思想方法称为分类讨论思想。［1］分类讨论是一种重要的数学思想方法，俗称“化整为零，各个击破，再积零为整”。［2］它是一种基本解题策略，更是中考重点考查内容之一，纵观近几年中考试卷，均涉及到分类讨论思想方法的考查，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性，在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习中对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以“分类讨论”的数学思想在学习中占有非常重要的地位。进行分类讨论时，我们

3、要遵循的原则是：①确定讨论的对象以及所讨论对象的全域；②分类标准必须是统一的，不重复、不遗漏；③逐类讨论，不能越级。每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些数学概论要受到条件限制，有些问题的条件或结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，这些问题的解决就必须用到分类讨论。下面就此谈谈此方法在初中数学解题中的简单应用。1.由数学概念引起的分类讨论如根据绝对值的定义分类，对于绝对值的

4、问题，往往要将绝对值符号内的对象分为正数、负数、零三种，在每种情况下再分别处理。例1:化简：

5、x-2

6、+

7、x+3

8、分析：要去掉绝对值，求绝对值的和必须对的取值进行分类讨论。解：当x<_3时，x-2+1x+31=l-2x；当-3求第三边的长？例6:已知直角三角形的两条边长为3和4分析：对于条件中没有明确给出哪条是直角边，哪条是斜边的这类直角三角形应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。解：当4是斜边时，则一直角边的长是3，第三边的长为[[KF(37[[KF)3;当4是一直角边时，则另一直角边的长是3，第三边的长为5，故第三边的长为HKF(37HKF

9、)3或5。5.求解的数学问题的结论有多种可能性引起的分类讨论有些数学问题，其题目的结论限制不明确，引起的结果可能有几种情形，因此要对每种情况进行分析讨论，再求解，否则就有可能漏解，导致失分。如所求的三角形要求为直角三角形，所求的三角形为等腰三角形，所求的两个三角形相似有关边的对应，所求的四边形是平行四边形等等都需要分类讨论。例7:如已知一次函数y=kx+l(k乒0)的图像与x轴，y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=KSX(34OxKSX)3的图像在第一象限交于C，C点的横坐标为2。(1)求一次函数的解析式；(2)求AA0C的面积；(3)P是

10、x轴上一动点，是否存在点P，使得由A、P、C三点构成的三角形是直角三角形；若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。解：(1)当x=2时，y=KSX(34OXKSX)3二2，/.C(2，2)KTP8.TIF；%32%32，Y3•••点C在y=kx+l图像上，•••2k+l二2，/.k=USX(3102KSX)3/.y=KSX(3102KSX)3x+1(2)过C作CD丄x轴于点D，如图(5)当y=0时，KSX(31O2KSX)3x+l=0，得x=-2，/.A(-2，0)；.SAA0C=KSX(3102KSX)3-OA-CD=Ksx(3102KSX

11、)3X2X2=2KTP9.TIF；%32%32,Y3(3)存在点P，使得由三点A、P、C构成的三角形是直角三角形，有两种情况，应分类讨论：当ZCPA:90°，如图(5)，此时点P与点D重合，则0P-2•••P(2，0)当ZACP=90°，如图(6)，•••A(-2，0)，B(0，1)，C(2，2)•••AB=KKF(35KKF)3，AC=2KKF(35dKF)3，A0=27ZA0B=ZACP-90°,ZBAO^ZPAC/.AABO^AAPC•••0P=3/.P（3，0）综上所述，P点坐标为（2,0）或（3,0）点的三角形相似，且这样的点P共有3个

12、，AP的长为USX(314HU5KSX)3或1或6。5.由参变量取值不同引起的分类讨论数学问题中如果含有参变量，这些参变量的不同取值会导