中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练：二次函数与方程（组）或不等式

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1、中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练二次函数与方程（组）或不等式◆知识讲解（1）最大值或最小值的求法第一步确定a的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．（2）y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为（0，c）．（3）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点（h，ah2+bh+c）．（4）抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数

2、根．抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点△>0抛物线与x轴相交．②有一个交点（顶点在x轴上）△=0抛物线与x轴相切；③没有交点△<0抛物线与x轴相离．（1）平行于x轴的直线与抛物线的交点．同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根．（2）一次函数y=kx+n（k≠0）的图像L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像G的交点，由方程组的解的数目确定：①当方程组有两组不同的

3、解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点．（3）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分．◆例题解析例1如图所示，已知抛物线y=－x2+（5－）x+m－3与x轴有两个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M，△MAC≌△OAC，若存在，

4、求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】抛物线与x轴交于A，B两点，OA=OB，故A，B两点关于y轴对称，就可求得m的值，由抛物线交y轴的正半轴，得m的确定值．【解答】（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB．∴由②得m=±5，由①m>3，故m=－5应舍去．∴m=5．（2）抛物线的解析式为y=－x2+2，对称轴是y轴，顶点C的坐标为C（0，2）．（3）令y=0得－x2+2=0，∴x=±2．∴A（2，0），B（－2，0），C（0，2），△OAC是等腰直角三角形．若存在一点M，使△MAC≌△OAC，∵AC

5、为公共边，OA=OC，∴点M与O关于直线AC对称，∴M点的坐标为（2，2）．当x=2时，－x2+2=0≠2．∴M（2，2）不在抛物线上，即不存在一点M，使△MAC≌△OAC．【点评】存在性问题，通常是先假定存在，若能找出具备某种条件或性质的对象，就说明存在，其叙述过程就是理由；若不存在，就需要进一步说明理由．例2已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB满足3（OB－AO）=2AO·OB，直

6、线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB的正切值4．（1）求m的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确定直线y=kx+k的解析式．【分析】利用抛物线与x轴的交点A，B的位置及与y轴交点的位置和A，B两点到原点的距离可以求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可以求解．【解答】（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x10．解得m>－2．

7、①又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，∴m2－4<0，∴－20．由3（OB－AO）=2AO·OB可得3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2即3（x1+x2）=－2x1x2由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．∴3（2m+4）=－2（m2－4）整理，得m2+3m+2=0．∴m=－1或m=－2（舍去）．∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．（

8、3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．∵直线y=kx+k与抛物线相交，∴由解得或∵∠POB为锐角．∴点P在y轴右侧，∴点P坐标为（k+3，k2+4k），且k+3>0．∵tan∠POB=4，∴=4．如图所示，当点P在x轴上方时．=4．解得k1=2，k2=－2．经检验，k1=2，k2=－2都是方程的解，但k2+3<0．∴k2=－2舍去．∴直线的解析式为y=2+2．当点P