奥数：第九讲 有趣的数阵图（一）

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1、第九讲有趣的数阵图（一）　　大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.　　先看例题.例1下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说

2、理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.　　经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.　　那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.　　这样一来，

3、C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.　　在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.　　所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=

4、7=G，B+D=3+2=5=H，恰　　好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；　　综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？　　分析I的值有三种不同的获得方式：　　I=A+B+C+D=E+F=G+H.　　3I=A+B+C+D+E+F+G+H，　　而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.　　3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.　　现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规

5、律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：　　（26+18）÷2=22.　　（30+26）÷2=28.　　（24+30）÷2=27.解：x+18=17×2　　x=16.　　经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）　　分析1图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：　　1+

6、2+3+…+7+2x=3S　　即28+2x=3S或28+2x≡0（mod3）　　借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，　　　　得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；　　由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.　　此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.　　注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分

7、析2我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为：　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x　　同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod3），把x≡0、1、2代入试验，得x≡1（mod3），即x=1、4、7、10.四种解.　　①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19　　②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21　　③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23　　④当x=10时，

8、55+2x=75，75÷3=25　　读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.　　解：（A）图：　　中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.　　（B）图：　　中心数可