奥数：小学奥数系列：第三讲 最大公约数和最小公倍数

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1、第3讲最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识　　1.公约数和最大公约数　　几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。　　例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；　　18的约数有：1，2，3，6，9，18。　　12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=6。　　2.公倍数和最小公倍数　　几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。　　例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，…　　18的倍数有

2、：18，36，54，72，90，…　　12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。　　3.互质数　　如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。二、例题例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，　　∴要求的数是30、60、75的公约数。　　又∵要求符合条件的最大的数，　　∴就是求30、60、75的最大公约数。　　解：∵　　（30，60，75）=5×3=15　　这个数最大是15。例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数

3、最小是多少？分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。　　解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，　　∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且无剩余，　　∴每段长度必是120、180和300的公约数。　　　　又∵每段要尽可能长，　　∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.　　（120，180，300）=30×2=60　　∴每小段最

4、长60厘米。　　120÷60+180÷60+300÷60　　=2＋3＋5=10（段）　　答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。　　　　［3，10，5］=5×3×2=30　　∴各道工序均应加130个零件。　　30

5、÷3=10（人）　　30÷10=3（人）　　30÷5=6（人）　　答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。　　解：∵[2，3，4]=12　　∴参加会餐人数应是12的倍数。　　又∵12÷2+12÷3+12÷4　　=6+4+3=13（瓶），　　∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，

6、共用13瓶饮料。　　又∵65÷13=5，　　∴参加会餐的总人数应是12的5倍，　　12×5=60（人）。　　答：参加会餐的总人数是60人。例6一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例6为例介绍另一种求最

7、大公约数的方法。　　对于例6，可做如下图解：　　从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘米）中，以159厘米为边长裁正方形，恰好裁成3个，且无剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公约数。　　

8、让我们把图解过程转化为计算过程，即：　　2703÷1113，商2余477；　　1113÷477，商2余159；　　477÷159，商3余0。　　或者写为　　2703=2×1113