导数—高中数学的一个交汇点.doc

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1、导数—高中数学的一个交汇点一、考试要求1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记基本导数公式（c,(m为有理数)），的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求简单函数的导数；3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。二、重难点分析利用导数的方法研究函数的性质是

2、目前高考命题的重点和热点内容。在知识网络的交汇处设计问题，则是高考命题的创新主体。在现行的高中数学教材中，导数融数形于一体，既有求导的运算，又有其物理意义与几何意义，是高中数学的一个重要交汇点，是联系多个章节内容及解决相关问题的重要工具，它常与函数，不等式、数列、向量、解析几何、三角等内容交汇渗透。在复习的过程中应认识到：能对简单的初等函数进行求导是本章的重点；能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型，并应用导数知识去解决问题是本章的关键；在处理函数单调性、函数的极值及不等式证明等问题时，能灵活运用导数的方

3、法是本章的重中之重。三、知识网络导数的实际背景导数定义导数的几何意义导函数基本导数公式求导的四则运算法则复合函数求导法则求简单函数的导数导数的应用判断函数的单调性判断函数的极大（小）值求函数的最大（小）值四、重点知识的梳理1、常见函数的导数①(c为常数)②③④⑤⑥⑦⑧2、四则运算法则若的导数都存在，则①②③3、复合函数求导设在处可导，在处可导，则复合函数在点处可导，且4、导数的几何意义与物理意义：①设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示的曲线在点处的切线斜率。②设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速

4、度。③设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度。5、连续与可导的关系连续是可导的必要条件而不是充分条件，可导一定连续，而连续不一定可导。1、导数的应用①利用导数的几何意义求曲线的切线方程；②判断函数的单调性.如果函数在上连续，在内可导，（a）如果在内，那么函数在上单调增加；(b)如果在内，那么函数在上单调减少。③判断函数的极大（小）值若在点处连续且可导，在左右两侧符号异号，左正右负，极大值；左负右正，极小值。解题过程通常用列表法。④求函数的最大（小）值情形1.闭区间上连续函数的最值如果函数在内可导（ⅰ）求出在开区

5、间内的所有驻点；（ⅱ）比较的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值。注：使导数为0的点叫函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，反过来，函数的驻点却不一定是极值点。情形2.实际问题中单峰函数的最值在求实际问题的最大值或最小值时，一般时先找出自变量，因变量，建立函数关系式，并确定定义域，如果对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值即为最大（小）值，而不用讨论驻点是否为极值点。五、例题<一>导数在研究函数单调性中的应用例1．已知，求函数的单调区间解：函数的导数

6、为(ⅰ)当时，若在内为增函数，若在内为减函数(ⅱ)当时，若在内为减函数;若在和内为增函数(ⅲ)当时，若在内为增函数,若或在和内是减函数注：单调区间不能使用符号表示。例2．证明不等式：,其中证明：设,在内为单调递增函数又当时,即注：构造函数是解题的关键。<二>利用导数的几何意义解题（导数与解析几何的交汇）例3.已知函数在处取得极值（1）讨论和是函数的极大值还是极小值（2）过点A(0,16)作曲线的切线，求此切线方程。解：（1）依题意，即解得令,得,若，则在和上是增函数。若，则，在（－1，1）上是减函数，故是极大值

7、；是极小值。（2）曲线方程为，点A(0,16)不在曲线上，设切点，则点M的坐标满足，因故切线方程为：而A(0,16)在切线上解得：。故所求切线方程为例4．已知抛物线：和：，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线。公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。(1)a取什么值时，和有且只有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。解：（1）函数的导数，函数+a的导数为，在点处的切线是，即①在点处的切线是，,即②如果是和的公切线，则①和②都是的方程。消去得：.利用.得,重合

8、.因此时，和有且仅有一条公切线，此公切线方程为：（2）由（1）可知，时，和有两条公切线，设一条公切线上切点为其中在上，在上，则有线段中点为：，同理，另一条公切线段的中点也是，∴公切线段和互相平分.<三>导数与数列知识的综合例5.二次函数图象经过点（0，10），导函数，当时，的函数值为整数的个数记为，求数列的通项公式。解：∴设（为常数）∵图像经过(0,10)点，∴.则当时，的函数值为整数