第十单元 无穷级数

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1、第十单元无穷级数一、无穷级数的概念与性质1、无穷级数：，简称级数。其中un称为通项，也叫一般项。为级数的前n项的部分和。收敛：存在，则称为级数的和。发散：不存在。数项级数：中的每项un均为常数。函数项级数：中的项un不全为常数。2、基本性质性质1、若收敛于S，则收敛于kS；若发散，k≠0，则也发散。性质2、若与皆收敛，则也收敛。性质3、在前面部分去掉或添上有限项，不改变级数的收敛性。性质4、收敛级数加括号后所得的级数仍收敛于原级数的和。性质5、（收敛的必要条件）若收敛，则必有。说明：并不能保证一定收敛。20推论：，则必定发散。三个标准级数：（1）等比级数：（2）p—级数：（3）调和级数：例1

2、若级数收敛，记，则（B）例2若级数收敛，则下列级数不收敛的是（B）例3判定的收敛性。解：因所以，收敛，且收敛于。二、正项级数1、定义：若中的每一项un≥0，（n=1，2，…）则称为正项级数。202、比较判别法（审敛法）若与皆为正项级数，且0≤un≤vn(n=1,2,…),则（1）当收敛时，必收敛；（大敛小必敛）（2）当发散时，必发散；（小散大必散）3、比值判别法设为正项级数，且，则（1）当ρ<1时，收敛；（2）当ρ>1时，发散；（3）当ρ=1时，此法失效。说明：（1）un中含n!、nn、an(a>0)、nk(k>0)时，用比值法较为方便；（2）利用比较法时，要先有个初步估计，然后选择一个标准

3、级数与之比较。4、极限形式的比较判别法设与皆为正项级数，且，当01（或）时，级数发散；（3）当l=1时，级数可能收敛也可能发散。例如：证明级数是收敛的。证明：，由根式审敛法知收敛例1设与都是正项级数，且un≤vn(n=1,2,…),则下列命题正确的是（D）例2判定级数的收敛性。解：因所以级数发散。（推论）20例3判定的收敛性。解：因所以收敛。例4判定级数（a>0,a≠e）的收敛性。解：故当a>e时，收敛；0

4、明：当级数中有参数时，一定要讨论参数的取值范围。例5判定级数的收敛性。解：（必要条件）（比值法失效）而，由于（用比较法）为正项级数，且为p=2的p级数，收敛，20故收敛。判定正项级数收敛性的方法：（1）若易求，应先判定是否为0，若不为零，则发散；（2）当通项含n!、nn、an(a>0)、nk(k>0)，考虑用比值法判别；（3）使用比较判别法，先作一个初步估计，再选择标准级数。例6判定级数的收敛性。解：（，比值法失效）法一：利用极限形式的比较判别法，取为发散级数（同敛散）故发散。法二：比较判别法，由于又发散（调和级数）故发散。三、任意项级数1、定义：如果中的各项un可以是正数、负数或零，则称为

5、任意项级数。（除特殊情形外，没有判别收敛的一般法则）2、交错级数：20（1）定义：形如u1-u2+u3-…+(-1)n-1un+…(其中un>0)的级数称为交错级数。（2）莱布尼兹定理：若交错级数（其中un>0，n=1,2…）满足①un>un+1，n=k,k+1,…,②,则必定收敛，且其和S≤u1,余项的绝对值。（3）莱布尼兹级数，该级数为收敛级数。（可作为公式使用）四、绝对收敛与条件收敛1、绝对收敛：若收敛，则必收敛，此时称绝对收敛。2、条件收敛：若收敛，而发散，此时称条件收敛。3、交错级数判敛的一般步骤：①先判定的收敛，若收敛，则绝对收敛。②若发散，再考察的收敛性，如果收敛，则为条件收敛

6、。例1当满足下列条件（D）时，收敛。收敛例2下列级数中条件收敛的级数是（C）20说明：A、B通项的极限为1≠0；D绝对收敛。例3级数是（A）A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性不能判定说明：取绝对值后为的正项p级数，故绝对收敛。例4判定级数的敛散性。解：所给级数为交错级数，，且满足，所以，由莱布尼兹定理可知：收敛。例5研究级数的收敛性，其中常数a>0。解：记,则,从而知为p级数，且当a>1时，收敛，故绝对收敛；当01时，绝对收敛；当0

7、B、若(2)收敛，则(1)必收敛C、若(1)发散，则(2)可能发散也可能收敛D、(1)、(2)敛散性一致（以为例）（05、06）例7下列级数收敛的是（C）（05B、6）例8设为正项级数，如下说法正确的是（C　）（06、5）A、如果，则必定收敛；B、如果，则必定收敛；C、如果收敛，则必定收敛；D、如果交错级数收敛，则必定收敛。　例９　下列级数收敛的是（　　Ｄ　　）　　（　０７、６）　　　　　五、幂级数　　１、定