26.2 几种常见的平面变换

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1、精品文档本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵的作用下()A.横坐标不变,纵坐标伸长5倍B.横坐标不变,纵坐标缩短到倍C.横坐标,纵坐标均伸长5倍D.横坐标,纵坐标均缩短到倍答案：B。（2）表示x轴的反射变换的矩

2、阵是()A.B.C.D.答案：D。（3）已知二次曲线，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后，所得图形的新方程式中不含xy项，则θ=（）A、30°B、45°C、60°D、75°答案：C。解析：由已知得旋转变换矩阵M=T：，从而有代入原二次曲线方程，得到关于的新方程式，要使其中不含项，必须满足，即，∵。（4）设△OAB的三个点坐标为O(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2)，在矩阵M=对应的变换下作用后形成△则△OAB与△的面积之比为___________。答案：1：1。解析：由题意知TM为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。精品文档（5

3、）函数在矩阵M=变换作用下的结果是。答案：。解析：本变换是伸压变换。例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。••A（2，5）•A（-2，5）XOY（1）方程为；（2）点A（2，5）；（3）曲线方程为答案：（1）所给方程表示的是一条直线。设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x1,y1）∵＝　　∴ｘ＝ｘ＇　ｙ＝ｙ＇　变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２∴该变换是恒等变换。（图略）（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆

4、，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变换后的点为,则将之代入到可得方程，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换。图2图1XXYYOO例3：将双曲线C：上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形，试求的方程。精品文档答案：由题意，得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线上的一点，它在变换TM作用下变为，则有M=，故，又因为点P在曲线上，所以，即有。∴所求的方程为。例4：研究直线在矩阵对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义。答案：任取直线的一点，它在矩阵对应的变换作用下变为，则有，故即又因为点P在直线上，所以即有从而直线在矩阵作

5、用下变成直线。其几何意义是：把直线上的每一点沿垂直于直线的方向投影到该直线上。【课内练习】1．下列矩阵是二阶单位矩阵的是（）A、B、C、D、答案：A。解析：由定义知。2．坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得到的新图形一定与原三角形全等的个数为（）A、1B、2C、3D、4答案：B。解析：只有旋转、反射变换满足。3．将圆在矩阵A=对应的伸压变换下变成一个椭圆，则（）精品文档A、B、3C、D、5答案：B。解析：由已知得。4．在矩阵变换下，点A(2,1)将会转换成。答案：(2,5)。解析：。5．若直线在矩阵M=对

6、应的变换作用下，把自己变为自己，则的值分别为。答案：0，2。解析：由题意知TM：，故，易求得。6．曲线C在伸压变换下T：）作用得到的图象，则曲线C的方程为。答案：。解析：由已知，曲线C上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的2倍，即将的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的一半，故曲线C的方程为。7．直线在矩阵A对应的变换作用下变成直线，则A。答案：。8．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换？••A（２，１）XOＹ图1A’（－１，２）（1）　　点Ａ：（2，1）（2）点Ａ：

7、（2，1）答案：（1）、解：∵=　即点Ａ：（２，１）经过变化后变为XOＹ图2A’（2，5）A（2，1）A＇（－１，２）该变换是把向量ＯＡ绕着精品文档原点逆时针旋转９００得到向量　ＯＡ＇∴该变换为旋转变换。变换图形如图１。（2）、解：∵=即点Ａ：（２，１）经过变化后变为A＇（2，5）。该变换为沿Y轴正向的切换。变换图形如图2。9．研究双曲线在矩阵作用下变换得到的图形，并说明变换的几何意义。答案：设所求图形上任一点为，与之对应的原图形上的点为，则，∴，图形略。其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到上。10．已知矩阵M=，向量α=，β=（

8、1）试验证下列等式成立：①M(α+β)=Mα+Mβ;②对任意实数λ，μ，有M(λα+μβ)=λ(Mα)+μ(Mβ);（2）对于本题条件加以推广，定出推广后的命题，不要求证明。答案