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1、装订线内请勿答题信息科学技术学院2003-2004学年第二学期本科生期末考试试卷考试科目：代数结构与组合数学考试时间：2004年6月专业级班姓名学号毛题号一二三四五六七八九十总分得分一、（每小题3分,共18分）判断以下命题的真假.如果为真在后面括弧内打Ö，否则打´.1．A={x
2、xÎN且(x,5)=1}，则构成代数系统，+为普通加法（）2．"x,yÎR，xoy=
3、x-y
4、，则0为的单位元（）3．"x,yÎR，xoy=x+y+xy，则"xÎR，x-1=-x/(1+x)（）4．整环的积代数不一定是整环（）5．格同态具有保序性（）6．在有补格
5、中，"aÎL，求a的补是L的一元运算（）解答：1.´2.´3.´.4.Ö5.Ö6.´评分标准：每题3分，错一题扣3分。二、（12分）A={a,b,c},o是A上的二元运算，在V=的运算表中，除了aob=a以外，其余运算结果都等于b.1．试给出V=的两个非恒等映射的自同态.2．给出这两个自同态导出的关于V的商代数.解答：1.f={,,},g={,,}2.f导出的商代数为<{{a,b,c}},*>,其运算为{a,b,c}*{a,b,c}={a,b,c}g导出的商代数为<{{a,b}
6、,{c}},*>,"x,yÎ{{a,b},{c}},x*y={a,b}评分标准：给对一个自同态得３分，给对一个商代数得３分． 注意结果不惟一，但是自同态满足将ｂ映到ｂ．-2-三、（10分）设N是群G的一个正规子群，且[G:N]=m，证明"aÎG都有amÎN.解答与评分标准：证 根据商群定义
7、G/N
8、=[G:N]，因此
9、G/N
10、=m.（2分）"aÎG,NaÎG/N，(Na)m=N（3分）根据商群运算有,(Na)m=Nam,从而Nam=N（3分）由陪集相等条件得amÎN.（2分）四、（10分）证明有理数域的自同构只有恒等自同构.解答与评
11、分标准：证任何有理数表为p/q，其中p,q为整数，q>0，p与q互素（1分）自同构满足f:Q®Q,且f(0)=0,f(1)=1,（2分）"xÎZ+，f(x)=f(1+1+1+…+1)=f(1)+f(1)+…+f(1)=x.（2分）"xÎZ-,令x=-y，则f(x)=f(-y)=-f(y)=-y=x（1分）"xÎQ+,x=p/q,f(x)=f(pq-1)=f(p)f(q-1)=p(f(q))-1=pq-1=p/q=x（2分）"xÎQ-,x=-p/q,f(x)=f(-p)f(q-1)=-f(p)f(q-1)=-p/q=x（2分）f为恒等映射。五、（16分）由集
12、合{5×a,1×b,1×c,1×d,1×e}中的全体元素构成字母序列，求：1．没有两个a相邻的序列个数2．b,c,d,e中的任何两个字母都不相邻的序列个数.解答与评分标准：1．以a为格子分界，放b,c,d,e进入4个格子，方法数为4!=24（8分）2．以b,c,d,e为格子分界，方法数为4!。将3个a放入格内分隔b,c,d,e，然后将另2个a插入5个空隙，方法数为方程x1+x2+x3+x4+x5=2的非负整数解个数，为C(6,2)=15所求方法数为N=15×4!=360（8分）六、（10分）求和解答与评分标准：求和结果正确得10分，没讨论n=0情况者得9分
13、。-2-七、（10分）用3种颜色涂色3´3的方格棋盘，每个方格一种颜色.如果允许棋盘任意旋转或翻转，问有多少种不同的涂色方案？解答：群G的置换结构为：(·)(·)(·)(·)(·)(·)(·)(·)(·)1个(····)(····)(·)2个(··)(··)(··)(··)(·)1个(··)(··)(··)(·)(·)(·)4个评分标准：群对了得6分，Polay定理用对了得3分，计算对了得1分。八、（14分）设n为自然数，求平面上由直线x+2y=n与两个坐标轴所围成的直角三角形内（包括边上）的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点.解：整点个数为以下
14、方程非负整数解的个数x+2y=r,r=0,1,…,n生成函数为评分标准：写对生成函数得6分，解出ar得5分，求出N得3分。-2-
