2016-2017学年人教a版选修4-5 三个正数的算术——几何平均不等式(一) 学案

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1、课堂导学三点剖析一、利用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式【例1】(1)已知ai∈R+(i=1,2,3,…,n),且a1a2…an=1.求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n.(2)已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:++≥9.证明：(1)∵a1>0,∴2+a1=1+1+a1≥3·>0.同理,2+a2=1+1+a2≥>0,……2+an=1+1+an≥>0,∴(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n·=3n.∴原不等式成立.(2)∵a+b+c≥3·,a+b+c=1,∴≤.∴≥3.∴++≥3·≥9.∴原不等式成立.温馨提示在利用三元均值不等式证明不等式时,要注

2、意把握三元均值不等式的结构特点,以便灵活地用于解题.各个击破类题演练1设a,b,c>0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证法一:左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥3·+3·=6abc,∴原不等式成立.证法二:左边=(ba2+bc2)+(ab2+ac2)+(ca2+cb2)≥2abc+2abc+2abc=6abc,∴原不等式成立.变式提升1设a,b,c>0,求证:≥.证明:∵(+1)+(+1)+(+1)=(a+b+c)()=［(a+b)+(c+b)+(c+a)］·()≥·3·,∴≥.二、利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值【

3、例2】求函数f(x)=x(5-2x)2(0

4、θ∈(0,),∴sinθ=时,ymax=变式提升2求f(x)=x2+的最小值.解析:设t=,则t≥1,y=t2-1+=t2++-1≥3·-1=3·-1.当且仅当t2=,即t=,x=时，“=”成立.此时f(x)的最小值为3·-1.三、利用三个正数的算术——几何平均不等式解决实际问题【例3】(1)设圆锥的母线长为1,试问圆锥的底面半径为多少时,圆锥的体积最大?(2)圆锥内有一半球,球面与圆锥侧面相切,半球的底面在圆锥的底面上,已知半球半径为r,圆锥的母线与底面所成的角为θ,求当圆锥的体积V圆锥=f(θ)最小时,圆锥的高h的值.解析:(1)设母线与底面所成的角为θ,则底面半径为cosθ,高h=

5、sinθ.∴圆锥的体积V=πcos2θsinθ=cos2θsinθ,记μ=cos2θsinθ,则μ2=cos4θsin2θ=［cos2θ·cos2θ·(2sin2θ)］≤()3=,∴μ≤(当且仅当cos2θ=2sin2θ时,取“=”).∴V≤π,即V的最大值为π,当V最大时,cos2θ=2sin2θ,∴cosθ=,即圆锥的底面半径为.另解:设底面半径为r,高为h,则r2+h2=1,圆锥的体积为V=πr2h,∴V2=r4h2=(r2·r2·2h2)≤.()3=,即V≤(当且仅当r2=2h2,即r=时,取“=”).(2)右图是圆锥及其内切半球的轴截面,则圆锥的底面半径为R=,圆锥的高h=.∴

6、f(θ)=πR2h=πr3·.由(1)的结论可知:当cosθ=时,sin2θcosθ取得最大值,从而f(θ)取得最小值,即当h=r时,f(θ)取得最小值.类题演练3有甲,乙两个粮食经销商,每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食.他们共购粮三次,各次的粮食价格不同.甲每次购粮10000千克,乙每次购粮10000元,三次统计,谁购的粮食平均价格低?为什么?解析:设三次粮食价格每千克分别为a,b,c元,则甲,乙购粮的平均价格分别为y甲=,y乙=,∴y甲=(a+b+c),y乙=.而=3,∴又a,b,c不相等,故“=”不成立,∴y甲>y乙,即乙购粮平均价格低.变式提升3试研究(1)若长方体的容积

7、已定,何时其表面积最小?(2)若长方体的表面积已定,何时其体积最大?解析:设长方体的长,宽,高分别为a,b,c,表面积为S,体积为V,则S=2(ab+bc+ca),V=abc.∵ab+bc+ca≥,即S≥6(当且仅当ab=bc=ca,即a=b=c时,取“=”),所以(1)由V为定值知,当a=b=c,即长方体为正方体时,S最小,最小值为6;(2)由S为定值,与V≤(当且仅当a=b=c时,取“=”)知当长方体为正方体时,V最大,最大值为