奥数：初中奥数系列：.一次函数b级.第01讲.学生版

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1、函数及图像知识点睛一、函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式中，是常数，是一个常量，而随的变化而变化，所以、是变量．2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如和，对于的每一个值，都有唯一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时也称是的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．注意：⑴对于每一个给定的值，有一个唯一确定的值与之对应，否则就不是的函数．例如就不是函数，因为当时，，即有两个值与对应．⑵对于每一

2、个给定的值，可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数中，时，；时，．二、函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取

3、值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．三、函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：中是自变量，是的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：是表示是的函数，若写成

4、就表示是的函数．求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含的代数式．三、函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量和函数的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．2．函数图象的画法⑴列表；⑵描点；⑶连线．3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点中的，都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j解析式，如果满足函数解析式，

5、这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．例题精讲模块一、函数及其自变量取值范围【例1】判断下列式子中是否是的函数．⑴⑵⑶⑷【例2】下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是()ABCD【例3】求下列函数中自变量的取值范围：⑴⑵⑶⑷⑸⑹【例4】等腰周长为，底边长为，腰长为。⑴写出关于的函数关系式；⑵求的取值范围；⑶求的取值范围。二、实际问题中的函数及其图象【例1】某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如

6、图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴点到点只进水不出水；⑵点到点不进水只出水，⑶点到点不进水也不出水.其中正确的是()A．⑴B．⑶C．⑴⑶D．⑴⑵⑶【例2】甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲队单独做天，然后是乙队加入合作，完成剩下的全部工程，设工程总量是，工程进度满足如图所示的函数图象，那么实际完成这项工程比甲单独完成这项工程的时间少（）A.天B.天C.天D.天【例3】如图反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后走到新华书店去买书，然后散步走回家，其中表示时间，表示小明离家的距离，那么小明在体育馆锻炼和在新华书

7、店买书共用去的时间是（）A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟【例1】在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时，剩余部分的高度()与燃烧时间（）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是___________，从点燃到燃尽所用的时间分别是________⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时与之间的函数关系式⑶当为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧的过程中高度相等【例2】一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后又降价出售，售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图

8、所示，结合图象回答下列问题：⑴该农民自带的零钱是多少？⑵降价前他每千克土豆出售的价格是多少？⑶降价后他按每千克元将剩余土豆售完，这时他手