第11章动量矩定理.doc

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1、第11章动量矩定理上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。11.1动量矩定理11.1.1质点和质点系动量矩1．质点的动量矩如图11-1所示，设质点在图示瞬时A点的动量为mv,矢径为r，与力F对点O之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O的动量矩为（

2、11-1）质点对固定点O的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固定点O与动量AB所围成的三角形面积的二倍，即其中，h为固定点O到AB线段的垂直距离，称为动量臂。单位为kg.m2/s。质点的动量对固定轴z的矩与力对固定轴z的矩类似，如图11-2所示，质点的动量在oxy平面上的投影对固定点O的矩，定义质点对固定轴z的矩，同时也等于质点对固定点O的动量矩在固定轴z上的投影。质点对z轴的动量矩是代数量，即（11-2）2．质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于质点系内各质点对固定点

3、O的动量矩的矢量和，即（11-3）质点系对固定轴z的矩等于质点系内各质点对同一轴z动量矩的代数和，即（11-4）刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。刚体作定轴转动时动量矩的计算：设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i的质量为mi，到转轴的垂直距离为，某瞬时的角速度为，刚体对转轴z的动量矩由式（11-4）得即（11-5）其中，为刚体对转轴z的转动惯量刚体对转轴的转动惯量计算见附录Ⅱ。定轴转动刚体对转轴z的动量矩等于刚体对转轴z的转动惯量与角速度的乘积。

4、11.1.2质点和质点系动量矩定理1．质点的动量矩定理如图11-1所示，设质点对固定点O的动量矩为，力F对同一点O力矩，将式（11-1）对时间求导得即（11-6）质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对同一点的矩。将式（11-6）向直角坐标系投影得（11-7）特殊情形：当质点受有心力的作用时，如图11-4所示，力矩，则质点对固定点O的动量矩=恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩，行星的动量矩=恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，

5、因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即mvh=恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离h成反比。例题11-1如图11-5所示单摆，由质量为的小球和绳索构成。单摆悬吊于点O，绳长为，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。解：根据题意以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力和绳索拉力。单摆在铅垂平面内绕点O作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为，为逆时针时正，如图11-5所示。则质点对点O的动量矩为作用在小球上的力对点O的矩为由质点的动量矩定理得（1）由于，则，又由于单摆作微振幅摆动，则从而由式

6、（1）得单摆运动微分方程为（2）解式（2）得单摆的运动规律为其中，称为单摆的角频率，单摆的周期为称为单摆的振幅，称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。2．质点系的动量矩定理设质点系由n个质点组成，对每一个质点列式（11-6）有其中，为外力矩，为内力矩，上式共列n个方程，将这些方程进行左右连加，并考虑内力矩之和为零，得即（11-8）质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩）。将式（11-8）向直角坐标系投影得（11-9）

7、特殊情形：（1）当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，即，由式(11-8)知，质点系动量矩恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒。（2）当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，则质点系对该轴的动量矩守恒。例如，由式（11-9）知，质点系对x轴的动量矩恒量，则质点系对x轴的动量矩守恒。例题11-2在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为，对转轴O的转动惯量为，在半径为的鼓轮上悬挂一质量为的重物A，而在半径为的鼓轮上用绳牵引小车B沿倾角的斜面向上运动，小车的质量为。在鼓轮上作用有一不变的力偶矩M

8、，如图11-6所示。不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索与斜面平行，试求小车上升的加速度。解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力、、，在鼓轮上不变的力偶矩M，以及作用在轴O处和截面的约束力为、、。质点系对转轴O的动量矩为其中，，，则作用在质点系上的力对转轴O的矩为由质点系的动量矩定理得解得鼓轮的角加速度为小车上升的加速度为例题11-3如图11-7所示的装置，质量为的杆AB可在质量为的管CD内任意的滑动，AB=CD=l，CD管绕铅直轴z转动，当运动初始时，杆